Свойства действий над векторами

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .

Выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.

Расстояние d между точками A(x1) и B(x2) на оси:

Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле:

Деление отрезка в данном отношении. Если x ₁ и y ₁ - координаты точки A, а x ₂ и y ₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C (x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

10. Скалярное произведение векторов. Геометрические свойства скалярного произведения, угол между векторами. Условия ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скаляроного произведения через координаты множителей.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

§ Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением..

 

Векторное произведение векторов. Геометрические приложения векторного произведения. Условие коллинеарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение векторного произведения через координаты множителей.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Геометрические приложения:

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing, т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.

Стало быть, М=ОА х F.

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr, где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Условие коллинеарности векторов - необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .

Алгебраические свойства смешанного произведения

Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке сомножителей и изменяет знак на противоположный при перестановке двух сомножителей, сохраняя при этом свой модуль.

Знак " " векторного умножения внутри смешанного произведения может быть поставлен между любыми его сомножителями.

Смешанное произведение дистрибутивно относительно любого его сомножителя: (например) если , то

Выражение векторного произведения через координаты

система координат правая

система координат левая

 

12. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения, условие компланарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты множителей.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов (a,b,c) называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий.

Алгебраические свойства векторного произведения

-антикоммутативность

-ассоциативности относительно умножения на скаляр

-дистрибутивности по сложению

-тождество Якоби. Выполняется в R3 и нарушается в R7

 

Векторные произведения базисных векторов находятся по определению