Свойства скалярного произведения

5.2.1 Свойство коммутативности: × = × .

Это вытекает непосредственно из определения скалярного произведения;

5.2.2 Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения,

т. е. (l )× = ×(l )=l( × ).

 

Доказательство этого свойства рекомендуем провести самостоятельно;

5.2.3 Свойство дистрибутивности ×( + )= × + × .

Учитывая, что пр_a( + )=пр_a +пр_a при ¹ , имеем

×( + )=| |×пр_a( + )=| |×(пр_a +пр_a )=|а|×пр_a +| |×пр_a = × + × .

При = это свойство очевидно;

5.2.4 Скалярный квадрат вектора ² = × равен квадрату модуля этого вектора,

т. е. ²=| |².

Действительно, ²= × =| |×| |×cos(0⁰)=| |². Отсюда | |= ;

5.2.5 Скалярное произведение двух ненулевых векторов и равно нулю

тогда и только тогда, когда ^ .

Если ^ , то j=( ^ )=90° и × =| |×| |cos 90°=0.

Обратно, если × =| |×| |×cos(j)=0, то cos(j)=0 (так как ¹0 и ¹0),

откуда j=90°, т.е. ^ ;

5.2.6 Косинус угла между ненулевыми векторами и находится

по формуле (7) .

В самом деле, если × =| |×| |×cos(j), и | |¹0 и | |¹0, то из данного

равенства можно выразить cos(j).

 

 

Пример 4

Для базисных векторов (; ; ) известно, что | |=1, | |=3, | |= 4 и углы между ними ( ^ )=90 ⁰, ( ^ )=60 ⁰, ( ^ )=60 ⁰.

Найти 1) Модуль вектора =2 + -3 ;

2) Скалярное произведение × , если = -2 +4 ;

3) Угол между векторами и .

 

Решение:

1) Воспользуемся тем, что | |= .

²= × = (2 + – 3 )×(2 + – 3 )=

= 2 ×2 + 2 × + 2 ×(-3 ) + ×2 + × + ×(-3 ) +

+(-3 )×2 + (-3 )× + (-3 )×(-3 ) =

= 4 × + 2 × – 6 × +2 × + × – 3 × – 6 × – 3 × +9 × =

= 4 × +(2+2)× × +(-6-6)× × + × +(-3-3)× × +9 × =

= 4 × +4 × – 12 × + × – 6 × + 9 × .

Вычислим каждое скалярное произведение по определению:

× =| |×| |×cos(0⁰)=1×1×1=1,

× =| |×| |×cos(90⁰)=1×3×0=0,

× =| |×| |×cos(60⁰)=1×4×0,5=2,

× =| |×| |×cos(0⁰)=3×3×1=9,

× =| |×| |×cos(60⁰)=3×4×0,5=6,

× =| |×| |×cos(0⁰)=4×4×1=16.

²= 4 × +4 × – 12 × + × – 6 × +9 × = 4×1+ 4×0–12×2+ 9– 6×6+9×16=

=4+0– 24+9– 36+144=97.

Модуль вектора | |= = ;

2) × =(2 + – 3 )×( – 2 +4 )=

= 2 × + 2 ×(-2 ) + 2 ×4 + × + ×(-2 ) + ×4 +

+(-3 )× + (-3 )×(-2 )+ (-3 )×4 =

= 2 × – 4 × +8 × + × – 2 × +4 × – 3 × +6 × – 12 × =

= 2 × +(-4+1)× × +(8-3)× × + (-2) × +(4+6)× × +(-12) × =

= 2 × – 3 × +5 × – 2 × +10 × – 12 × =

=2×1 –3×0 +5×2 –2×9+10×6– 12×16=2– 0+10– 18+60– 192= -138.

Получили × = -138.

Знак “ – “показывает, что угол между векторами и тупой;

3) Угол между векторами можно найти по его косинусу, .

Выше найдено | |= , × = -138, найдём | |:

² = × =( – 2 +4 )×( – 2 +4 )=

= × + ×(-2 ) + ×4 + (-2 )× +(-2 )×(-2 ) +(-2 )×4 +

+4 × + 4 ×(-2 )+ 4 ×4 =

= × – 2 × +4 × – 2 × +4 × – 8 × +4 × – 8 × +16 × =

= × +(-2-2)× × +(4+4)× × + 4 × +(-8-8)× × +16 × =

= × – 4 × +8 × +4 × – 16 × +16 × =

=1 – 4×0 +8×2 +4×9 +16×16=1– 0+16+36+256=307,

получили ²=307, | |= .

,

( ^ )=arccos(-0,7997) 143⁰.

 

Ответ: | |= , × = -138, ( ^ )=143⁰.

Декартов базис и декартова система координат

Декартов базис

Опр.20 Векторы , , …, называется ортогональными, если скалярное

произведение любой пары различных векторов равно нулю.

Условие ортогональности можно заменить попарной

перпендикулярностью этих векторов ^ , .

 

Опр.21 Векторы , , …, называется нормированными, если каждый

из векторов единичный.

 

Опр.22 Векторы , , …, называется ортонормированными, если они

ортогональны и нормированы. Условие ортонормированности

векторов в терминах скалярного произведения можно записать

следующим образом: (7) .

Опр.23 Декартовым базисом векторного пространства называются векторы

, , …, , которые ортонормированны и их количество n

является размерностью векторного пространства.

 

 

Декартовым базисом на плоскости можно взять два вектора, которые единичные и взаимно перпендикулярные. Такие векторы обозначают и , их порядок фиксирован: = , = .

Разложение вектора по базису (; ) имеет вид = x × + y × , где числа х и y называются декартовыми координатами вектора и = (x; y), их ещё обозначают а_х и а_у тогда = (а _x; а_у).

 

Например, разложение вектора =(-2; 5) по базису (; ) имеет вид = –2 +5 . Если же вектор задан своим разложением в базисе (; ), например =3 –7 , то в этом базисе он имеет координаты (3; -7), т.е. =(3; -7).

Декартовым базисом трёхмерного пространства можно взять три вектора (; ; ), которые единичные и попарно перпендикулярные т.е. если | |=| |=| |=1 и ^ , ^ , ^ . Такие векторы обозначают , и , их порядок фиксирован: = , = , = .

Разложение вектора по базису (; ; ) имеет вид = x × + y × + z × , где числа x, y, z являются декартовыми координатами вектора и =(x; y; z).

Например, разложение вектора =(2; -1; 3) по базису (, , ) имеет вид =2 – +3 . Если = 2 – 5 , то в этом базисе вектор имеет координаты (0; 2; -5), т. е. =(0; 2; -5).