Декартова система координат плоскости и пространства

Пусть О - произ­вольная фиксированная точка некоторой плоскости и (; ) - один из ортонормированных базисов той же плоскости.

 

Опр.20 Сово­купность фиксированной точки О и ортонормированного базиса (; ) называется декартовой (или прямо­угольной) системой координат на плоскости. Точка О назы­вается началом координат. Прямые Ох и Oу, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов и (Рис.13), называются осями координат: Ox - ось абсцисс, Оу - ось ординат. Систему координат будем обоз­начать O или хOу, а плоскость с соответствующей систе­мой координат будем называть плоскостью Оху.

 

Легко увидеть, что декартова система координат на плоскости задается двумя взаимно перпенди­кулярными прямыми - осями, на каждой из которых вы­брано положительное направление и задан отрезок еди­ничной длины. Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты.

Четверти нумеруются против часовой стрелки, как на рис.13.

 

 

Рассмотрим произвольную точку М плоско­сти Oxу (Рис.13). Радиус-вектором точки М по отношению к точ­ке О называется вектор , соединяющий начало координат с данной точкой.

Координатами точки М в системе координат O называются координаты радиус-вектора в базисе (; ). Если =(х; у), то коор­динаты точки М записывают так: М(х; у), число х назы­вается абсциссой точки М, у - ординатой точки М.

Координаты точки могут быть найдены как проекции радиус-вектора на каждую из осей, х= а_х=Пр_ох и у=а_у=Пр_оу , =(а_х; а_у).

 

Обратно: если М(х; у), то =(х; у).

Опр.21 Совокупность фиксированной точ­ки О и ортонормированного базиса (; ; ) называется декартовой (или прямоугольной) системой координат в пространстве размерности n=3.

 

Как и на плоскости, точка О называется нача­лом координат. Прямые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направле­нии базисных векторов , , (Рис. 14), называются осями координат:

Ox – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов. Координатами точки М называются координаты радиус-вектора в базисе (; ; ), при этом если =(х; у; z), то пишут М(х; у; z), где х - абсцисса, у - ордината, z - аппликата точки М.

Обратно: если М(х; у; z), то =(х; у; z).

 

Прямоугольная система координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел (их координатами), а на плоскости - между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

В декартовой системе координат упорядоченная пара чисел одновременно задает как точку данной плоскости, так и радиус-вектор этой точки и целое множество равных ему векторов. Аналогично и в трёхмерном случае. В дальнейшем будем задавать векторы не двумя точками (начальной и конечной) а только конечной с указанием её координат. Считаем начальной точкой всех векторов (если противное не оговорено отдельно) точку О – начало координат.

 

Аналогично рассмотренным случаям n=2 и n=3 можно ввести понятие декартовой системы координат n-мерного пространства, которое можно обозначить R ⁿ. Точки такого пространства, как и векторы, задаются указанием упорядоченного набора n чисел - её декартовых координат.