Геометрический смысл смешанного произведения

Пусть даны три вектора , и , для которых вычислено смешанное произведение. Модуль смешанного произведения трёх некомпланарных векторов равен по величине объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах.

Для правой тройки векторов смешанное произведение положительное и

для левой тройки векторов оно отрицательное.

 

Для доказательства выполним построения (рис.18):

1) Отложим векторы , и от одной точки О;

2) Построим параллелепипед на векторах , , ;

3) Построим вектор (перпендикулярно плоскости ОАВ), его модуль

равен площади параллелограмма ОАСВ;

4) Найдем точку D – проекцию вершины O₁ на плоскость ОАВ,

|O₁D|=h – высота параллелепипеда.

 

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, проведенную к этому основанию, h. Плоскость О₁ОD проходит и через вектор , перпендикулярный плоскости ОАВ.

Длина высоты h равна проекции вектора = на вектор , т.е. h=| |× cos ( ^ ()).

 

 

 

В

Получили, что | |× cos ( ^ ()) = ()× ,

т.е. .

Если угол между векторами и тупой т.е. если вектор направлен в другую сторону относительно плоскости ОАВ, то в этом случае

.

В общем случае (15) .

 

 

Справедливо и обратное: объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения образующих его векторов.

 

Объем треугольной пирамиды (тетраэдра) равен шестой части смешанного произведения образующих её векторов.

Объём пирамиды , но площадь её основания вдвое меньше площади основания соответствующего параллелепипеда, высота h такая же, как и у параллелепипеда (Рис.19).

Получили, что (16) .

Пример 8

Найти объём пирамиды АBCD,

вершины которой А(1; 2; 3), В(2; 0; 3), С(-1; 3; 4), D(5; 3; 6).

Решение

Составим образующие пирамиду векторы, взяв точку А начальной:

,

,

.

Найдем смешанное произведение векторов , образующих пирамиду:

(.

Знак “ – “ показывает, что при данном порядке векторов тройка левая.

Воспользуемся формулой (16) .

Ответ: V= 4,5.

 

Пример 9

Если векторы =(1; 3; 1), =(-1; 2; 0), =(2; 1; 3) являются линейно независимыми, то найти разложение вектора =(1; 6; 4) по базису (, , ).

Решение

1) Найдем смешанное произведение векторов , и :

,

следовательно векторы , и линейно независимы и могут

быть взяты аффинным базисом;

2) Пусть , , – базис, тогда – разложение вектора в этом базисе. Подставив координаты векторов , , , получим .

Приравняв попарно координаты к координатам =(1; 6; 4), получим систему трех линейных уравнений от трёх переменных.

Определитель матрицы системы равен 10 (при нахождении смешанного произведения вычислялся определитель транспонированной матрицы).

Решение системы может быть найдено, например, методом Крамера:

и .

Полярные координаты

Полярная система координат

Помимо декартовой системы координат при решении некоторых задач используются другие системы координат. Часто применяется полярная система координат на плоскости.

Зададим на плоскости точку O, луч ОР и единичный вектор того же направления, что и луч ОР.

Опр.25 Совокупность точки О, луча ОР и

единичного вектора (рис. 12) называется полярной системой координат. Точка О называется полюсом, а луч ОР - полярной осью.

 

 

Возьмем на той же плоскости точку М, не совпадающую с О (рис. 18). Обозначим r=| | и j=ÐРОМ - величина направленного угла РОМ. Очевидно, что числа r и j определяют положение единственной точки М на плоскости. Они называются полярными координатами точки М, r - полярный радиус, j - полярный угол, записывают М (r; j).

 

Направленный угол от полярной оси отсчитывается в положительном направлении, т.е. обратном движению против часовой стрелки, но не по наименьшему углу. Для удобства вводится и противоположное направление движения, тогда и перед величиной угла (в градусах либо радианах) ставится знак минус.

Для известной точки плоскости нетрудно найти её полярные координаты: Если точка М совпадает с полюсом О, то тогда r=0, а число j неопределенно; Для других точек плоскости r>0 (находится однозначно);

Число j для каждой точки плоскости определено с точностью до 2pk: пары чисел вида (r; j), (r; j+2p),…, (r; j+2pk), где k - любое целое число, соответствуют одной и той же точке плоскости.

Справедливо и обратное: любая пара чисел вида (r; j) в полярной системе координат однозначно задают точку соответствующей плоскости.

 

 

Полярными координатами пользуются многие. Например, положение другого судна или объекта моряки описывают углом от выбранного направления (которым обычно берется направление судна либо направление на север) и расстоянием до него от своего корабля. Например «Неизвестный корабль в пяти милях, тридцать градусов по курсу».

Связь между прямоугольными

И полярными координатами

Рассмотрим декартову систему координат хОу.

На плоскости Оху введем такую полярную систему координат, в которой (рис. 19):

1) Полюс О совпадает с началом декартовой (прямоугольной) системы координатO ;

2) Полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс Ох.

 

Пусть (х; у) – декартовы (прямоугольные) координаты некоторой точки М,

(r; j) - ее полярные координаты.

 

Из рис.19 видно, что справедливы равенства

(17) ,

по которым находятся декартовы координаты точки М при известных ее

полярных координатах.

Из формул (17) имеем x² +y² = r ², откуда (18) r =

(перед радикалом берем знак «+», так как r=| | ³0).

Если r ¹0, то из (17) и (18) имеем

(19), либо

и угол может быть по ним найден с учётом четверти, в которой лежит точка.

По формулам (18) и (19) находят полярные координаты r и j точки М, зная ее прямоугольные координаты х и у.

 

 

Пример10

Если известно, что полюс совпадает с началом координат и полярная ось совпадает с положительным направлением оси Ох, то найти

1) Полярные координаты точки А, если её декартовы координаты А(-3; 4);

2) Декартовы координаты точки В, если для неё r=6 и j= .

Решение:

1) Воспользуемся формулами (18) и (19):

r = ,

,

точка А лежит во второй четверти и угол j может быть найдена из первого

условия, .

Угол мог быть найден и из условия и при учете второй четверти (левой полуплоскости), .

Полярные координаты точки А (5; 2,214);

2) Для нахождения декартовых координат воспользуемся формулами (17)

 

.

Получили, что декартовы координаты точки В (-3; -3,464).

 

Комплексные числа