Векторное произведение в координатной форме

Если =(x₁; y₁; z₁) и =(x₂; y₂; z₂), то

(11.1) .

Выведем эту формулу:

=(x₁× +y₁× +z× ) (x₂× +y₂× +z× )=

= х₁x₂×( ) + x₁y₂×( ) + x₁z₂×()+

+ y₁x₂×( ) + y₁y₂×( ) + y₁z₂×()+

+ z₁x₂×()+ z₁y₂×() + z₁z₂×( )_.

Векторы , , ортонормированны, тройка (, , ) – правая,

тогда при учете свойства 8.5 получим

= х₁x₂×0 + x₁y₂× + x₁z₂× (- ) +

+ y₁x₂×(- ) + y₁y₂×0 + y₁z₂× +

+ z₁x₂× + z₁y₂×(- ) + z₁z₂×0 =

.

Если дополнительно заменить каждую скобку соответствующим определителем второго порядка

,

то получим правило раскрытия определителя третьего порядка по первой строке (не вдаваясь в смысл , , считаем их элементами первой строки).

Получили правило, по которому легко запомнить правило нахождения векторного произведения векторов в координатной форме:

(11.2) ;

Если векторы двумерные, то можно считать их третью координату нулевой,

.

8.5 Синус угла между векторами, заданными в координатной форме

(12) sin ( ^ )= = ;

8.6 Двойное векторное произведение или - вектор,

компланарный с и , он может быть найден по правилу

(13) .

Двойное векторное произведение не обладает ни коммутативностью, ни

дистрибутивностью.

Пример 6

Базисом являются векторы , .

В этом базисе заданы векторы , .

Найти модуль векторного произведения векторов и .

Решение:

Составим векторное произведение векторов и :

=( – 4 ) (3 +2 )=

= 3 + 2 +(-4 ) 3 +(-4 ) 2 =

= 3×( ) + 2×( ) – 12×( ) – 8×( )=

= 3×( ) + 2×( ) + 12×( ) – 8×( )=

= 3×0 +14( )– 8×0= 14×( ).

Получили = 14×( ), | |= 14×| |.

По определению ,

| |= 14×| |= 14×3 = 42.

Ответ: | |= 42.

 

Пример 7

Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках пространства А(2; 4; -1), В(3; 1; 1), С(0; 4; 2). Найти внутренний угол треугольника при вершине А и синус этого угла.

Решение:

1) Найдем векторы и , образующие данный треугольник.

Координаты вектора находятся вычитанием из координат конечной точки соответствующих координат начальной точки:

=(3 – 2; 1 – 4; 1 – (-1)) = (1; -3; 2), =(0 – 2; 4 – 4; 2 – (-1))= (-2; 0; 3). Треугольник АВС образован векторами =(1; -3; 2) и =(-2; 0; 3);

2) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения

образующих треугольник векторов, т.е. .

Векторное произведение векторов и в координатной форме имеет вид:

=

= ,

=(-9; -7; -6).

Модуль векторного произведения = ,

следовательно ;

3) Угол при вершине А равен углу между отрезками АВ и АС, следовательно и между соответствующими векторами и .

Угол между векторами можно найти по его косинусу, используя скалярное произведение векторов:

cos( ^ )= = .

При этом синус угла можно найти из основного тригонометрического тождества .

В данном случае синус угла между векторами вычислим непосредственно, используя модуль векторного произведения (который уже найден):

sin( ^ )= .

 

Найдём угол между векторами: ( ^ )= arcsin(0,955) 73 ⁰.

Ответ: S=6,44, sin(ВАС)=0,883, (ВА^ВС) 73 ⁰.