N-мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

Определение. n-мерньм вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде

Понятие n-мерного вектора широко используется в

экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у, если

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z=х +у‚ компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Произведением вектора х на действительное число λ называется вектор и u= λX компоненты u(итое(i)), которого равны произведению.

 

14. Векторное(линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

 

15. Скалярное произведение вектаров в n-мерном пространстве. Евклидово пространство.Длина(норма) вектора.

 

16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

17.Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

 

 

18. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример.

 

 

19. Собственные векторы и собственные значения оператора А(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

 

20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором x и образом y.Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

 

21. Квадратичная форма(определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.Пример.

 

 

22. Квадратичная форма(канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратических форм)

 

 

23. Положительно и отрицательно определённая,знакоопределённая квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квардратичной формы(через собственные значения её матрицы и по критерию Сильвества).

 

 

24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Опр. Урав-ем линии(кривой) на плоскости Oxy наз-ся урав-е, кот.удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлет.координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Точка пересеч-я двух линий: система двух прямых A₁x+B₁y+C₁=0;A₂x+B₂y+C₂=0 – если прямые не параллельны, т.е. А₁/А₂ НЕ РАВНО В₁/В₂, то реш-е системы дает единственную точку пересеч-я прямых.

Осн.виды урав-ий прямой на плос-ти: 1) Урав-е пря-й, проход-щей через данную точку в данном направ-и: y-y₁=k(x-x₁). 2) Если в урав-и k-производное число,то это урав-е определяет пучок прямых,проходящих через точку M₁(x₁, y₁), кроме прямой, параллельной оси Oy и не имеющей углового коэффициента. При-р:урав-е пучка прямых, проходящ-х через точку A(3;-2), имеет вид y+2=k(x-3). 3) Урав-е прямой, проходящ-й через две данные точки: угловой коэф-т прямой:k=y₂-y₁/x₂-x₁. y-y₁=y₂-y₁/x₂-x₁ * (x-x₁). 4) Урав-е прямой в отрезках наз-ся урав-е x/a +y/b=1. 5) Общее урав-е прямой и его исследование: При любых А,В(не равных одновременно нулю) и С урав-е (А_х+B_y+C=0) есть урав-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy. А_х+B_y+C=0 наз-ся общим урав-ем прямой.

 

 

25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

 

26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности.Каноническое уравнение эллипса.Геометрический смыслпараметров окружности и эллипса.

 

27. Канонические уравнения гиперволы и параболы,геометрический смысл их параметров.Уавнение асимптот гиперболы.График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трёхчлена.

 

28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

 

 

29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикуляр Условие параллельности плоскостей ности двух прямых в пространстве.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов

.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:
- условие параллельности прямых.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

– условие перпендикулярности прямых.

 

 

30. Угол между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условие параллельности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.