Тема 4. Элементы векторной алгебры (12 часов, 6 лекций)

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

 

Рязань 2012

Тема 4. Элементы векторной алгебры (12 часов, 6 лекций)

Лекция 1

Понятие геометрического вектора, его характеристики. Виды векторов

В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются численным значением и направлением. Это сила, скорость, ускорение.

Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.

 

Определение 2. Модуль вектора, или длина вектора – это расстояние между на чалом концом вектора.Обозначения , .

Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллельны и направлены в одну сторону).

 

 

Рис. 1

На рис. 1 векторы и равные, векторы и имеют разную длину, а векторы и , и имеют разные направления.

Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой ().

Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Линейные операции над векторами в геометрической форме,

Их свойства

Сложение.

а) правило параллелограмма: если векторы имеют общее начало, то сумма векторов – это вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.

 

 

Из рисунка видно, что .

 

 

Рис. 1

б) правило треугольника: если векторы расположены последовательно, то есть конец первого является началом второго, то сумма векторов – это вектор, начало которого является началом первого, конец – это конец второго.

 

Рис. 2

Используя это правило, легко доказать, что

 

 

в) правило многоугольника: это обобщение правила треугольника, используется при последовательном расположении нескольких векторов, сумма нескольких последовательных векторов – это вектор, начало которого – это начало первого, а конец – это конец последнего.

 

 

 

Определение 1. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю, направление любое.

Определение 2. Если поменять начало и конец вектора местами, то получится вектор, противоположный данному.

Вычитание.

 

 

Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному вектору прибавить вектор, противоположный второму: .

Умножение вектора на число.

Если данный вектор умножить на число , получится следующий вектор :

если , то ,

если , то .

Если , то длина вектора увеличится в раз, если , то длина уменьшается в раз.

 

 

Свойства операции

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Доказательство 4. Если , то ;

если , то ;

если и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.

5.

 

 

Определение 3. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом и обозначается .

.

Лекция 2

Проекция вектора на вектор (ось), ее свойства.

Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор и вектор (ось) (см. рис. 1). Осью называется прямая, на которой задано направление.

Опустим из точек перпендикуляры на ось . Получим точки , (основания перпендикуляров) и соответствующий вектор . Параллельным переносом поместим вектор в точку , получим вектор , причем = . Обозначим через угол между векторами и .

Определение. Проекцией вектора на ось называется число, обозначаемое и равное длине вектора , если вектор одинаково направлен с вектором (обозначается как ) и , если вектор противоположно направлен с вектором (обозначается как ). Итак,

(3.1)

Для рис. 1 имеем , так как , для рис. 2 , так как .

Найдем связь между проекцией вектора на вектор (ось) , длиной вектора и углом . Для этого рассмотрим треугольник (он прямоугольный, так как ). Тогда

,

но так как , то . Итак,

. (3.2)

Рассмотрим некоторые простейшие свойства проекции вектора на ось .

1) Из формулы (3.2) следует, что:

если угол – острый (), то , так как при ;

если угол – тупой (), то , так как при ;

если угол , то , так как при ;

если угол , то , так как при ;

2) ;

3) ( – некоторый произвольный вектор).

 

Координаты вектора (в базисе), разложение вектора по базису.

Лекция 3

Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.

Основные критерии (свойства) линейной зависимости,

Доказательство.

а) Пусть векторы линейно зависимы, тогда в равенстве (2.2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, .В этом случае получаем

,

то есть вектор линейно выражается через остальные.

б) Пусть какой-то из векторов линейно выражается через остальные, например, вектор , то есть

,

тогда , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

Доказательство.

а) Пусть векторы и линейно зависимы, тогда один из векторов линейно выражается через другой, например, , а это и означает, что векторы коллинеарны.

б) Пусть векторы и коллинеарны, то есть , значит, , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

Доказательство.

а)Пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через остальные, например, , отнесем эти векторы к одному началу, проведем через векторы и плоскость , тогда векторы и будут тоже принадлежать этой плоскости, следовательно, вектор принадлежит плоскости , то есть векторы компланарны.

б) Пусть векторы компланарны, перенесем их в одну точку плоскости, если векторы и

не коллинеарны, то , то есть линейно выражается через и , это означает,

что векторы линейно зависимы; если векторы и коллинеарны, то есть , то

, значит вектор линейно выражается через векторы и , следовательно, векторы

линейно зависимы.

Определение 2. Совокупность линейно независимых векторов таких, что любой вектор линейно выражается через эти векторы, называется базисом.

Из приведенных теорем следует, что на плоскости базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора, в пространстве базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

Если векторы образуют базис, то произвольный вектор линейно выражается через эти векторы, то есть

,

тогда числа являются координатами вектора в данном базисе, .

Лекция 4

Лекция 5

Доказательство.

 

 

 

3).

Доказательство. а) Для очевидно;

б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изменится в раз;

в) для : .

4). .

 

Доказательство. Возьмем единичный вектор , перпендикулярный плоскости , . Спроектируем вектор на плоскость , получим вектор , повернем его в плоскости вокруг точки по часовой стрелке на : а) ;

б) (так как , (так как , а - проекция тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);

в) - правая тройка, следовательно, .

 

 

Вектор . В . Спроектируем данный треугольник на плоскость , получим , повернем его в плоскости по часовой стрелке на ,

получим . .

Так как , то .

, тогда , следовательно,

.

 

5). .

6). Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.

Доказательство.

а) Пусть векторы и коллинеарны, следовательно, или

, тогда и , нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть ;

б) Пусть , тогда , но , следовательно,

, а это значит, что и коллинеарны.

7). .

8). Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:

			-

Пояснение: векторное произведение - это вектор, перпендикулярный векторам и , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах и , то есть равна 1, а тройка векторов - правая тройка, отсюда следует, что . Остальные произведения можно получить, используя свойства векторного произведения.

 

 

Вычисление площадей.

Если на векторах и построен параллелограмм, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

Если на векторах и построен треугольник, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

На плоскости векторное произведение не определено, а площадь параллелограмма вычисляется следующим образом:

.

 

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Воспользуемся формулой. Для этого сначала вычислим векторное произведение данных векторов

, тогда

.

 

Лекция 6

Свойства

1). Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть

.

2). Если в смешанном произведении сделать циклическую перестановку множителей, то произведение не изменится, то есть

.

3). Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Доказательство. 1) Пусть векторы компланарны, возможны следующие случаи:

а) один из векторов нулевой, например, , у него любое направление, поэтому он лежит в

плоскости двух других векторов(значит векторы компланарны), тогда

;

б) какие-то два вектора коллинеарны, например, , тогда вектор будет параллелен плос-

кости, построенной на векторах и (по признаку параллельности прямой и плоскости), то

есть векторы компланарны, тогда .

в) все векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, тогда

, то есть вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а в этой плоскости лежит и вектор , следовательно, , тогда (свойство скалярного произведения).

2) Пусть , векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, отсюда следует, что

, а по определению, то есть векторы компланарны.

 

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

 

Рязань 2012

Тема 4. Элементы векторной алгебры (12 часов, 6 лекций)

Лекция 1