Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. Повторные операции теории поля.

В области D задано скалярное поле, если каждой точке М D сопоставлено по некоторому за­кону число => понятия скаляр­ного поля и скалярной функции, определенной в D, сов­падают.

В области D задано векторное поле, если каждой точке М D сопоставлен по некоторому закону вектор => понятия векторного поля и векторной функции, определенной в D, совпадают.

Пусть задано скалярное поле в области D из .

О1. Скалярное поле назы­вается дифференцируемым в D, если его полное приращение в M можно пред­ставить в виде

где - некоторые не зависящие от числа, - бесконечно малые при функции, равные 0 при .

Условие дифференцируемости скалярного поля по-другому:

где , это представление единственно. В более компактном виде:

где - скалярное произведение векторов .

О1*. Скалярное поле дифференци­руемо в М, если в этой точке для полного приращения справедливо соотношение (1). Скалярное поле диффе­ренцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой точке этой области.

(1) можно переписать:

(2) приводит к вектор­ному полю градиента дифференцируемого в облас­ти D скалярного поля . Определение градиента не зависит от выбора системы координат => он является инвариан­том. В случае дифф-сти поля можно ввести производную по направлению вектора :

Производная по направлению задает некоторое новое скалярное поле в области D.

Пусть в области D пр-ва задано векторное поле ,оно каждой точке ставит в соответ­ствие вектор .

О2. Векторное поле называется диффе­ренцируемым в точке М D, если его полное при­ращение представляется в виде

где А - некоторый линейный оператор в ,

- вектор, длина которого после деления на стремится к 0 при | .

Утв. Если векторное поле дифференцируемо, то представление (4) единственно.

Док-во. Если есть 2 представления вида (4):

то

Разделим на обе части равенства:

где - вектор единичной длины. Справа стоит бесконечно малый вектор (его длина → 0 при | ) => для единичного вектора :

Если 2 ЛО А и В совпадают на единичной сфере, то они равны на векторе, т. е. совпадают всюду. => А = В.

Векторное поле диф­ференцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой точке D.

Пусть М D, - единичный вектор с коор­динатами соs α, соs β, соs γ, определяющий некоторое направление. Пусть М' - из D, М' ≠ М и такая, что век­тор ММ' коллинеарен , .

О3. Производной векторного поля в точке М по направлению называется предел отноше­ния (если он ):

Утв. Пусть векторное поле дифференцируе­мо, А - линейный оператор, определяемый из соотношения дифференцируемости (). Тогда производная поля в этой точке М по любому направлению существует и определяется равенством

Док-во. Пусть - фиксированный вектор. Вы­берем М' так, чтобы => из (4) . Т.к. , то

Переходя к пределу при , получаем (5).

Рассмотрим (4): . А - ЛО, действующий на из . Найдем матрицу ЛО А в ортонормированном базисе i, j, k, с которым свя­зана декартова прямоугольная система координат Охуz. Пусть в этом базисе . Из (5) =>

По формулам* вычисляем элементы матрицы оператора А:

Пусть - дифф-мое в D вектор­ное поле => , где А - ЛО, зависящий от точки М, вектор - приращение аргумента , при .

О4. Дивергенцией векторного поля в точке М называется дивергенция ЛО А из условия (4):

О5. Ротором векторного поля в точке М называется ротор ЛО А из условия дифф-сти (4):

Т.к. дифф-мо во всей D, то и определены в каждой М D и по определению инвариант­ны, т. е. не зависят от базиса => - скалярное поле, - векторное поле.

Выберем ортонормированный базис i, j, k и свяжем с ним декартову систему координат Охуz. Пусть в i, j, k координа­ты поля . Т.к. , то по формулам** и (7)

Т.к. , то по формулам*** и (7):

Вычислим производную поля по направлению с помощью (5). =

Пусть в D заданы скалярное поле и векторное , все частные производные 2-го порядка функций и непрерывны в D => - диф­ф-мое скалярное поле, grad u и rot - дифф-мые векторные поля => можно повторно приме­нять операторы grad, div, rot, и имеют смысл операции:

Пусть i, j, k - фиксир. ортонормир. базис, с ко­торым связана декартова система координат Oхуz.

Утв. Имеют место следующие 5 соотношений:

Док-во. Схема: последовательно применять опе­раторы к скалярному или векторному полю.

1) = => из (9):

Δ («дельта») - оператор Лапласа: .

Подставляя вместо b его выражение, получим правую часть 3-го соотношения.

З. grad, div, rot инвариантны => инвариантны => в системе координат соотношения из утверждения верны.

*:

**:

***: