Необходимое условие сходимости двойного ряда. Связь между сходимостью двойного ряда и повторного ряда. Критерий сходимости двойного ряда с неотрицательными членами.

Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых после­д-стей

(1)

…

…

Просуммировав каждую строку матрицы отдельно, получим бесконечную послед-сть рядов вида

Просуммировав эту послед-сть, получим повторный ряд

Другой повторный ряд

получится, если сначала просуммировать отдельно каждый столбец матрицы (1), а затем взять сумму элементов полу­ченной при этом послед-сти.

О1. Повторный ряд (3) называется сходящимся, если сходится каждый из рядов (2) и если сходится ряд , в котором обозначает сумму k ̶ го ряда (2).

О2. Повторный ряд (4) называется схо­дящимся, если сходится каждый из рядов

и если сходится ряд , в котором обозначает сумму ̶ го ряда (5).

С матрицей (1) связывают еще двойной ряд

О3. Двойной ряд (6) называется схо­дящимся, если при независимом стремлении двух индексов т и п к бесконечности конечный предел

прямоугольных частичных сумм

При этом указанный предел (7) называют суммой двой­ного ряда (6).

Из этого определения => если двойной ряд (6) получен перемножением членов двух сходя­щихся «одинарных» рядов

т. е. если члены двойного ряда (6) равны ,то этот двойной ряд сходится, а его сумма равна произведению сумм рядов (9).

Из (8) => для т ≥ 2, п ≥ 2:

Последнее равенство означает

Утв. Необходимым условием сходимости двойного ряда (6) является стремление к 0 его общего чле­на, т. е. существование при независимом стремлении т и п к бесконечности равного 0 предела

Т1. Если сходится двойной ряд (6) и если сходятся все ряды по строкам (2), то сходится и повторный ряд (3), причем к этой же сумме, к которой сходится двой­ной ряд (6).

Док ̶ во. Перейти при фиксированном т к пределу при п→∞ в (8) и учесть сходимость ряда (2) к сумме :

Из (10) => сумма повторного ряда (3) - это повторный предел при т→∞ правой части (10):

Пусть предел (7) и для т предел (10). Из существования равного S предела (7) => для ε > 0 т ₀ и n ₀: при т ≥ т ₀, п ≥ n ₀справедливо => т.к. для т предел (10): для т ≥ т ₀ справедливо

Т2. Если все элементы матрицы (1) неот­рицательны, то для сходимости составленного из этой матри­цы двойного ряда (6) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы (8) были ограничены.

Док ̶ во. Необх-сть очевидна. Дост-сть. Из ограниченности => существование точной верхней грани этого множества S:

По определению точной верхней грани для ε > 0 :

Для всех т и п: т ≥ т ₀, п ≥ n ₀, из неотрицательности элементов => => и из (11):

для всех т и п при т ≥ т ₀, п ≥ n ₀ => равный S предел (7) => сходимость двойного ряда (6).

 

8. Абсолютная сходимость двойного ряда. Взаимосвязь между схо­димостью четырех рядов: повторных, двойного и «одинарного».

Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых после­д-стей

(1)

…

…

Просуммировав каждую строку матрицы отдельно, получим бесконечную послед-сть рядов вида

Просуммировав эту послед-сть, получим повторный ряд

Другой повторный ряд (4) получится, если сначала просуммировать отдельно каждый столбец матрицы (1), а затем взять сумму элементов полу­ченной при этом послед-сти.

О1. Повторный ряд (3) называется сходящимся, если сходится каждый из рядов (2) и если сходится ряд , в котором обозначает сумму k ̶ го ряда (2).

О2. Повторный ряд (4) называется схо­дящимся, если сходится каждый из рядов

и если сходится ряд , в котором обозначает сумму ̶ го ряда (5).

С матрицей (1) связывают еще двойной ряд

О3. Двойной ряд (6) называется схо­дящимся, если при независимом стремлении индексов т и п к бесконечности конечный предел

прямоугольных частичных сумм

При этом указанный предел (7) называют суммой двой­ного ряда (6).

Из этого определения => если двойной ряд (6) получен перемножением членов двух сходя­щихся «одинарных» рядов

т. е. если члены двойного ряда (6) равны ,то этот двойной ряд сходится, а его сумма равна произведению сумм рядов (9).

О4. Двойной ряд (6) называется абсо­лютно сходящимся, если сходится двойной ряд, составленный из модулей элементов матрицы (1):

Т1. Если сходится двойной ряд из модулей (6'), то сходится и двойной ряд (6).

Док ̶ во. Положим

Здесь . По Т** из сходимости двойного ряда (6') => ограниченность его частичных сумм => ограничены частичные суммы двойных рядов

=> эти ряды сходятся по Т**. Обозначим их суммы Р и Q. Из (10) ряд (6) сходится к Р ̶ Q. •

 

Обычный ряд, его члены - занумерованные в порядке элементы матрицы (1):

Т2. Рассмотрим 4 ряда: два повторных ряда (3) и (4), двойной ряд (6) и ряд вида (11). Если хотя бы один из этих 4- х рядов сходится при замене его членов их абсолютными величинами, то все 4 ряда сходятся и имеют одну и ту же сумму.

Док-во. 1) док-во сходимости; для повторных рядов (3) и (4) рассуждения аналогичны (только меняются ролями 1-й и 2-й индексы) => рассматриваем только ряд (3).

I) док-во, что из сходимости повторного ряда (3), у которого все члены заменены их модулями => абсолютная сходимость ряда (11). Пусть

Если ̶ частичная сумма ряда

получающегося при замене членов ряда (11) их модулями, то можно найти столь большие т и п, что все члены ряда (11), входящие в его частичную сумму с номером r, будут содержаться в первых т строках и первых п столбцах матрицы (1) = > в силу (12): => послед-сть частичных сумм ряда (11') ограничена=> ряд (11') сходится (по Т***) => (11) сходится абсолютно.

II) док-во, что из абсолютной сходимости ряда (3) => абсолютная сходимость двойного ряда (6). Пусть ряд (11') сходится => по Т*** послед-сть его частичных сумм { } ограничена. Фиксируем частичную сумму двойного ряда из модулей (6'). За­ведомо найдется номер r настолько большой, что r ̶ я частичная сумма ряда (11) будет содержать все члены, входящие в частичную сумму S_тп ряда (6) => => множество всех частичных сумм двойного ря­да (6') ограничено => по Т** ряд (6') сходится.

III) док-во, что из абсолютной сходимости ряда (6) => сходимость повторного ряда (3), у которого все члены заменены их мо­дулями. Пусть сходится ряд (6') => при k и п сумма ограничена суммой ряда (6') => по Т*** каждый из рядов

имеет ограниченную послед-сть час­тичных сумм => каждый из рядов (13) сходится => по Т* сходится пов­торный ряд из модулей (3').

2) док-во совпадения сумм рядов (3), (6) и (13). Пусть S - сумма двойного ряда (6) => сумма ряда (13) равна S, т.к. в силу абсолютной сходимости этого ряда его сумма не меняется при изменении порядка следования его членов и этот порядок можно изменить так, что частичные суммы после изменения порядка будут содержать в качестве подмножества частичные суммы S_тп двойного ряда (13). Из сходимости рядов (13) => сходимость рядов (2) => по Т* сумма повторного ряда (3) также равна S.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*: Если сходится двойной ряд (6) и если сходятся все ряды по строкам (2), то сходится и повторный ряд (3), причем к этой же сумме, к которой сходится двой­ной ряд (6).

**: Если все элементы матрицы (1) неот­рицательны, то для сходимости составленного из этой матри­цы двойного ряда (6) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы (8) были ограничены.

***: Чтобы ряд с неотрицательными чле­нами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-сть частичных сумм этого ряда была ограничена.

 

9. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов (Чезаро и Пуассона ̶ Абеля).

Сумма (1) ̶ чис­ловой ряд, и_k ̶ члены ряда (1). п - я частичная сум­мой ряда:

О. Ряд (1) называется сходящимся, если схо­дится послед-сть { S_п } частичных сумм (2) этого ряда. При этом предел S указанной последовательности { S_п } называ­ется суммой ряда (1):

Ряд, сходящийся в обычном смысле и имеющий обычную сумму S, должен иметь обобщен­ную сумму, и притом также равную S. Метод суммирования, обладающий указанным свойством, называется регулярным. Понятие обобщенной суммы подчиним условию: если ряд имеет обобщенную сумму U,аряд имеет обобщенную сумму V, то ряд

где А и В ̶ постоянные, имеет обобщенную сумму (АU+ВV). Метод суммирования, удовлетворя­ющий указанному условию, называется линейным.

Метод Чезаро (метод средних арифметических). Ряд (1) суммируем методом Чезаро, если предел средних арифметических сумм этого ряда:

Предел (3) называется обобщенной в смыс­ле Чезаро суммой ряда (1).

Линейность метода суммирования Чезаро очевидна. Его ре­гулярность вытекает из Л*, т.к. если { } → S, то предел (3) существует и также равен S.

Метод Пуассона - Абеля. По ряду (1) составим степенной ряд

Если он сходится для х из 0 < x < 1 и если его сумма S (х)имеет левое предельное значение

в точке х = 1, то ряд (1) суммируем мето­дом Пуассона - Абеля. Это предельное значение называется суммой ряда (1) в смысле Пу­ассона - Абеля.

Линейность метода Пуассона - Абеля очевидна. Докажем регулярность. Пусть ряд (1) сходит­ся в обычном смысле и его сумма = S. Надо до­казать: 1) ряд (4) сходится для х из 0 < x < 1; 2) сумма S (х)ряда (4) имеет в точке х = 1левое предельное значение, равное S.

1). (1) схо­дится => то послед-сть его членов бесконечно малая => и ограниченная => М: для всех k: => для х из 0 < x < 1 оценка модуля k ̶ го члена ряда (4): .

| x |<1 => ряд сходится => в силу З** сходится ряд (4).

2) Пусть - п - ячастич­ная сумма ряда (1), а S - его обычная сумма. С помощью преобразования Абеля *** можно убедиться, что для х из 0 < x < 1:

Вычтем (5) из тож­дества:

Обозначая через k ̶ й остаток ряда (1):

Надо доказать, что для ε > 0 δ > 0: левая часть (6) меньше ε для х из 1- δ < x < 1. Т.к. → 0 при k→∞, то для ε /2 > 0 k ₀: при k ≥ k ₀ =>

Остается доказать, что для х, достаточно близких к 1,

но это очевидно, т.к. сумма в последнем неравен­стве ограничена. Регулярность метода дока­зана.

*: Если послед-сть { а_п } сходится к преде­лу l, то к тому же пределу сходится и послед-сть σ_п = (а ₁+ a ₂ + … +а_п) / п средних арифметических чисел а ₁, а ₂ ,...,а_п.

**: Т сравнения. Пусть и - 2 ряда с неотрицательными членами. Пусть для всех номеров k справедливо: . Тогда из сходимости => сходимость ряда ; из расходимости => расходимость .

З. Т справедлива, если заменить на: где с - const >0.

***: Пусть { и_k } и { v_k } ̶ 2 после­д-сти, S_k = и ₁ +и ₂ +...+и_k, п и р ̶ 2 но­мера (п > 0, S ₀ = 0). Тогда справедливо преобразование Абеля