Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Критерий Коши.

Пусть на числовой прямой Е¹ или в т - мерном евклидовом пр-ве Е^т задано некоторое мно­жество { x }. Если каждому п из натурального ряда чисел 1, 2,......, п,... ставится в соответствие по определенному закону неко­торая функция f_п (х), определенная на множестве { x }, то множест­во занумерованных функций f ₁ (x), f ₂ (x),..., f_n (x), ... называется функциональной послед-стью.

f_n (x) ̶ члены или эле­менты послед-сти, множество { x } ̶ область определения послед-сти.

Пусть { и_п (х)} - функц. послед-сть, { х } - ее об­ласть определения. Формально написанная сумма

бесконечного числа членов этой функц. послед-сти - функциональный ряд. и_п (х) ̶ члены ряда, { х } ̶ область определения этого ряда. Сумма первых п членов ряда (1) ̶ n ̶ я частичная сум­ма.

Изучение функц. рядов изучению функц. послед-стей, ибо каждому функц. ряду (1) однозначно соответствует функц. послед-сть S ₁(x), S ₂(x), …, S_n (x), … (2)

его частичных сумм и, наоборот, каждой функц. после­д-сти (2) однозначно соответствует функц. ряд (1) с членами u ₁(х)= S ₁(x), и_п (х) = S_п (х) ̶ S_{п ̶ 1} (х)при n ≥ 2.

Пусть { х } пр-ва Е^т - об­ласть определения функц. послед-сти (функ­ц. ряда). Фик­сируем точку x ₀ = (x ₁º, x ₂º, …, х_т º) { х }и рассмотрим все члены функц. послед-сти (функ­ц. ряда) в х ₀ => получим числовую послед-сть (числовой ряд). Если эта числовая послед-сть (числовой ряд) сходится, то функц. послед-сть (функц. ряд) сходится в точке х ₀. Множество всех точек х ₀ ,в которых сходится данная функц. послед-сть (функц. ряд), называется областью сходимости этой послед-сти (ряда).

Пусть { х } - область сходимости функц. послед-сти { f_п (х)}. Совокупность пределов, взятых для всех точек х { х }, порождает множество всех значений вполне определенной функ­ции f (х), определенной на { х }. Эту функцию называют предельной функцией функц. послед-сти.

Если { х } - область сходимости функц. ряда (2),то на { х } определена функция S (х), являющаяся предельной функцией послед-сти частичных сумм этого ряда и называемая его суммой.

Пусть функц. послед-сть f ₁ (x), f ₂ (x),..., f_n (x), ... (3) сходится на { х }пр-ва Е^т к предельной f (x).

О1. Послед-сть (3) сходится к функции f (х) равномерно на { х }, если для ε > 0 N = N (ε): для всех п (п ≥ N (ε)) и для всех точек х { х }:

О2. Функц. ряд называется равно­мерно сходящимся на { х } к сумме S (х), если послед-сть { S_n (x)} его частичных сумм сходится равномерно на множестве { х } к предельной функции S (х).

Т1 (критерий Коши). Чтобы функц. послед-сть { f_n (x)} равномерно на { х } сходилась к неко­торой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N = N (ε), гарантирующий справед­ливость неравенства

для всех номеров п (п ≥ N (ε)), всех р и всех точек х { х }.

Т2. Чтобы функц. ряд

равномерно на { х } сходился к некоторой сумме, необхо­димо и достаточно, чтобы для ε > 0 N = N (ε), гарантирующий справедливость неравенства

для всех номеров п (п ≥ N (ε)), всех р и всех точек х { х }.

(Т2 - следствие Т1, т.к. в левой части (7) под знаком модуля стоит разность S_п+p (х) ̶ S_п (х)частичных сумм с номерами п+р и п функц. ряда (6)).

Док-во Т 1. Необх-сть. Пусть на { х } => фиксировав ε > 0, найдем N (ε):

справедливо для всех п (п ≥ N (ε)) и для всех х { х }.

Если р - натуральное число, то при п ≥ N (ε): п+p ≥ N (ε) для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех х из { х }:

Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (8) и (9):

(для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех х из { х }).

Дост-сть. Пусть для ε > 0 N = N (ε): (5) справедливо для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех х из { х }. Из (5) и из критерия Коши сходимости число­вой последовательности (Чтобы послед-сть была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной) => сходи­мость { f_n (x)} в каждой точке х { х }и существование определенной в каждой точке х { х }предельной функции f (х).

Фиксировав п (п ≥ N (ε))и х { х }, перейдем в (5) к пределу при р → ∞. Используя Т(Если все элементы сходящейся послед-сти { х_n }, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству х_n ≥ b (х_n ≤ b), то и предел этой послед-сти удовлетворяет неравенству х ≥ b (х ≤ b)) получим, что для п (п ≥ N (ε))и х { х }: => на { х }.

 

11. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов (два признака Абеля, признаки Дирихле ̶ Абеля, Вейерштрасса).

О1. Функц. послед-сть f ₁ (x), f ₂ (x),..., f_n (x), ... сходится к функции f (х) равномерно на множестве { х }, если для ε > 0 N= N (ε): для всех п (п ≥ N (ε)), и для всех х { х }:

О2. Функц. ряд называется равно­мерно сходящимся на множестве { х } к сумме S (х), если послед-сть { S_n (x)} его частичных сумм сходится равномерно на { х } к предельной функции S (х).

Т1. (признак Вейерштрасса). Если функц. ряд

определен на множестве { х } пр-ва Е^т и если сходящийся числовой ряд

такой, что для всех х { х } и для всех k справедливо неравенство

то функц. ряд (1) сходится равномерно на { х }.

Док-во. Фиксируем ε > 0. Т.к. ряд (2) сходится, то по критерию Коши* N (ε):

для всех п (п ≥ N (ε)) и р . Из (3) и (4) и из «модуль суммы не превосходит сумму модулей» =>

(для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех точек x { х }). Ряд (1) сходится равномерно на { х }по критерию Коши**.

О3. Функц. послед-сть { f_n (x)} называется равномерно ограниченной на { x }, если вещественное M > 0, что для всех п и всех точек х { x }:

О4. Функц. послед-сть { v_n (x)} называется послед-стью, обладающей на { x } равномерно ограниченным изме­нением, если функц. ряд

сходится равномерно на { x }.

З1. Всякая послед-сть, обладаю­щая на { x } равномерно ограниченным изменением, схо­дится равномерно на { х } к некоторой предельной функции. Из равномерной на { x } сходи­мости ряда (5) и из критерия Коши** => равномерная на { x } сходимость ряда

n- я частичная сумма которого: => , где , S (х) ̶ сумма ряда (5').

Т2 (1 ̶ й признак Абеля). Если функц. ряд

обладает равномерно ограниченной на { x } послед-стью частичных сумм, а функц. послед-сть

{ v_n (x)} обладает равномерно ограниченным на { x } изменением и имеет предельную функцию, ≡ 0, то на { x } сходится равномерно функц. ряд

Док ̶ во. Послед-сть S_п (х)частичных сумм ряда (1) равномерно ограничена => M > 0: для всех п и всех х { x }: .

Фиксируем ε > 0 и по нему N: для всех п > N, всех р и всех точек х { x } (т.к. по З1 и ряд (5) равномерно на { x } сходится):

и т.к. модуль суммы не превосходит сумму модулей:

Учитывая, что для всех п и всех х из { x } :

=> и из (7) и (8) для всех п > N, всех р и всех точек х { x }:

=> ряд (9) сходится равномерно на { x } (по Т**).

З2. На равномерную на { x } сходимость функц. ряда не влияет отбрасывание конечного числа его 1 -х членов. При отбрасывании конечного числа N 1-х членов все частичные суммы функц. ряда, начиная с п ≥ N, изменяются на одну и ту же функцию (= сумме первых N членов) => разность в критерии Коши (Т** и Т***) при п ≥N и для р будет иметь то же значение, что и до отбрасывания первых N членов.

З3. Если функц. ряд сходится равномерно на { x }, то для ε > 0 можно отбросить такое конечное число его 1-х членов, что все частичные суммы функц. ряда, получающегося после отбрасывания этих чле­нов, для всех х из { x }, будут удовлетворять неравенству

По критерию Коши равномерной на { x } сходимости исходного функц. ряда для ε > 0 N = N (ε): для всех х из { x } и всех р :

Под знаком модуля в (10) стоит частичная сумма с номером р функц. ряда, полученного после отбрасывания 1-х N членов у исходного ряда => (10) переходит в (9).

Т3 (2 ̶ й признак Абеля). Если функц. ряд (1) сходится равномерно на { x }, а функц. послед-сть { v_n (x)} обладает равномерно на { x } ограниченным изменением и является равномерно ограниченной на { x }, то функц. ряд (6) сходится равномерно на { x }.

Док- во. { v_n (x)}равномерно ограничена на { x } => M > 0: для всех п и всех х { x }:

Фиксируем ε > 0. В силу З3 можно отбросить у ряда (1) такое конечное число N 1-х членов, что все полученного функц. ряда будут для всех х из { x } и всех п:

Отбросим у рядов (1), (5) и (6) 1-е N членов. (Это в силу З2 не влияет на их равномерную на { x } сходимость). В силу критерия Коши равномерной на { х }сходимости ряда (5) (с отброшенными 1-ми N членами) для M > 0 N ₁: при всех х из { x }, для всех п ≥ N ₁и для р :

В силу тождества Абеля для всех n и р и всех х из { x }:

=> из (11), (11’) и (11’’) для всех п ≥ N ₁, всех р и всех х из { x }:

=> по критерию Коши равномерная на { x } сходимость функц. ряда (6).

Сл. (признак Дирихле - Абеля). Если функц. ряд (1) обладает равномерно ограничен­ной на { x } послед-стью частичных сумм, а функц. послед-сть { v_n (x)} не возрастает в каж­дой точке { x } и равномерно на этом множестве схо­дится к 0, то функц. ряд (6) сходится равно­мерно на { x }.

Т.к. { v_n (x)}не возрастает в каждой точке { x } и на { x } => п ̶ я частичная сумма ряда (5) S_п (х) = => { v_n (x)}обладает на { x } равномерно ограниченным изменением => равномерный на { x } предел

*: Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N: для п ≥ N и для :

**: Чтобы функц. ряд равномерно на { х } сходился к некоторой сумме, необхо­димо и достаточно, чтобы для ε > 0 N = N (ε), гарантирующий справедливость неравенства для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех х { х }.

***: Чтобы функц. послед-сть { f_n (x)} равномерно на { х } сходилась к неко­торой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N = N (ε), гарантирующий справед­ливость неравенства для всех п (п ≥ N (ε)), всех р и всех х { х }.