Определение и док-во существования двойного интеграла при помощи прямоугольных разбиений. Классы интегрируемых функций. Основные свойства двойного интеграла.

Пусть f (х, у)определена всюду на прямоугольнике .

Разобьем [ a, b ]на п сегментов: ,[ c, d ]на р сегментов: . Этому разбиению сегментов соответст­вует разбиение T прямоугольника R прямыми, параллельными осям Ох и Оу, на п•р частичных прямоугольников .

На каждом частичном выберем точку . Положим и - площадь . . Длину диагонали , = - диаметр . Наибольший из диаметров всех - диаметр разбиения Т прямоугольника R.

О1. Число

называется интегральной суммой ф-и f (х, у), соответ­ствующей данному разбиению Т прямоугольника R и данному выбору точек на частичных прямоугольниках разбиения Т.

О2. Число I называется пределом интег­ральных сумм (1) при , если для ε > 0 δ > 0: при независимо от выбора точек на выполняется .

О3. Ф-я f (х, у) называется интегри­руемой (по Риману) на прямоугольнике R, если конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Этот предел I называется двойным интегралом от f (х, у) по R:

З. Методом от противного док-тся, что интегрируемая на R функция ограничена на R.

 

Составим для данного разбиения Т прямоугольника R верхнюю и нижнюю суммы

У1. Для разбиения Т прямоугольника R при выборе точек : .

У2. Для фиксированного разбиения Т и ε > 0 точки можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять . Точки можно выбрать и таким образом, что интег­ральная сумма будет удовлетворять .

У3. Пусть Т' - измельчение разбиения Т прямоугольника R и S', s ' - верхняя и нижняя суммы Т'. Тогда: .

У4. Пусть Т' и Т" - 2 разбиения прямоугольника R, S', s' и S", s" - их верхние и нижние суммы. Тогда .

У5. Множество { S } верхних сумм данной f (х, у) для всевозможных разбиений прямоугольника R огра­ничено снизу. Множество нижних сумм { s } ограничено сверху.

=> числа - верхний и нижний интегра­лы Дарбу от f (х, у)по R. .

У 6. Пусть Т' - измельчение разбиения Т пря­моугольника R, полученное из Т добавлением р новых прямых, и пусть S', s' и S, s - верхние и нижние интегральные суммы раз­биений Т' и Т. Тогда:

Δ - диаметр разбиения Т, d - диаметр прямоугольника R.

- предел верхних сумм S при Δ→ 0, если для ε > 0 δ > 0: при Δ < δ.

У7. Верхний и нижний интегралы Дарбу от f (х, у) по прямоугольнику R являются пределами со­ответственно верхних и нижних сумм при Δ→ 0.

Т1. Чтобы ограниченная на прямоугольни­ке R функция f (х, у) была интегрируема на этом прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 нашлось такое разбиение Т прямоугольника R, для которого .

Т2. Любая непрерывная в прямоугольнике R функ­ция f (х, у) интегрируема на R.

О4. Назовем элементарной фигурой множество точек, представляющих собой объединение конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу).

О5. Ф-я f (х, у) обла­дает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D) I-свойством, если: 1) f (х, у) ограничена в R (в D); 2) для ε > 0 найдется элементарная фигура площади, меньшей ε, содержащая все точки и линии разрыва функции f (х, у).

Т3. Если функция f (х, у) обладает в прямоугольни­ке I-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.

С-ва двойного интеграла

1°. Аддитивность. Если f (х, у) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади 0 разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D ₁ и D ₂, то f (х, у) интегрируема в каждой из областей D ₁ и D ₂, причем

Док-во. Разобьем D ₁ и D ₂ на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим разбиение области D. Пусть - верхние и нижние суммы f (х, у)в областях D, D ₁ и D ₂ . Т.к. , то , и => интегрируемость f (х, у)в

D ₁ и D ₂ . (2) следует из:

З. Справедливо и обратное: из интег­рируемости f (х, у) в каждой из D ₁ и D ₂ следует ее интегрируемость в области D и справедливость форму­лы (2).

Док-во. Разбивая D на конечное число квадри­руемых частей D_i и вводя верхние и нижние суммы функции f (х, у)в D, D ₁ и D ₂, получим равенства (3), верные с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям D_i, которые имеют общие внутренние точки с кривой Г. Кривая Г имеет пло­щадь 0, f (х, у)ограничена => общая сумма этих слагаемых → 0 при .

2°. Линейное св-во. Пусть f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области D, α и β - вещественные числа. Тогда f (х, у) + g (х, у) также интегрируема в D, причем

3°. Если f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в D и всюду в D f (х, у) ≤ g (х, у), то

5°. Если f (х, у) интегрируема в области D, то и |f (х, у)| интегрируема в D, причем

(Обратное неверно: из интегрируемости |f (х, у)|в D не вытекает интегрируемость f (х, у)в D)

6°. Если f (х, у) интегрируема в D, а g (х, у) ограничена и совпадает с f (х, у) всюду в D, за исключением мно­жества точек площади 0, то и g (х, у) интегрируема в D.

7°. Теорема о среднем значении. Если f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в D, g (х, у) неотрица­тельна (неположительна) всюду в D,

Если при этом f (х, у) непрерывна в D, а D связна, то в D точка , что .

8°. Геометрическое св-во. равен пло­щади области D. (см У2 №18)