Формула Грина. Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо­женная в D, ограничивает область, все точки которой также D). Пусть D удовлетворяет условиям:

1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек;

2) на π можно выбрать такую декартову прямо­угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко­ординатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.

Пусть t - единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с , т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направле­нием t, и если смотреть с конца , то кон­тур С ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки).

Т1 (формула Грина). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по направлению непре­рывна в . Тогда справедлива формула

Справа - циркуляция век­торного поля по кривой С, слева - по­ток векторного поля через D.

Док-во. Все входящие в (1) функции непрерывны => оба интеграла . Интегралы слева и справа в (1) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. и инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора де­картовой системы координат => достаточно доказать (1) в какой-то одной специально выбранной системе.

Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы выполнялось условие 2), и Оz направим вдоль . Т.к векторное поле плос­кое, то =>

Для плоской области и , где l - длина дуги С, выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С =>

Для доказательства формулы Грина достаточно доказать 2 равенства:

Пусть прямая, парал­лельная оси Оу, пересекает С в точках . Пусть - наименьшая и наибольшая абс­циссы точек области , кривая С ₁соединяет с , а кривая С ₂ - с и , ориентированы согласованно с C => по формуле сведения двой­ного интеграла к повторному:

Аналогично вычисляется интеграл J.

З1. Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1'):

Интегралы слева и справа в (1') инвариантны, т.к. значения подынтеграль­ных выражений равны соответ­ственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1') тоже не меняется при переходе к новой системе Ох'у'; если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р' и Q ', то

Якобиан преобразования при переходе к новой систе­ме координат по модулю = 1, параметризация с по­мощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1') не меняют своего значения и формы.

Пусть D - односвязная область в (т. е. для кусочно гладкой замкнутой кривой C, расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность G, расположенную в D, имеющую границей С), поверхность S - ее граница, удовлетворяющая условиям:

1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат прямая, параллельная этой оси, будет пересекать S не более чем в 2 точках.

Пусть n - единичный вектор внешней нормали к S.

Т2 (формула Остроградского - Гаусса). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетво­ряющей условиям 1), 2), и такое, что производная по на­правлению непрерывна в . Тогда

Cправа - поток векторного поля через поверхность S, слева - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D => Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D ра­вен потоку векторного поля через поверхность S - границу этой области.

Док-во Все входящие в (2) функции непрерывны => оба интеграла . Формула (2) инвариантна относительно выбо­ра прямоугольной системы координат, т.к. все входящие в нее величины - инварианты => достаточно доказать (2) при каком-то 1 выборе декартовой системы. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так,чтобы выполнялось условие 2); пусть => учитывая :

Надо док-ть:

Докажем для L, другие ан-но. Пусть D'- проекция D на плоскость Оху. Через граничные точки D' проведем пря­мые, параллельные Оz. Каждая из них пересекается с S лишь в 1 точке. Множество этих точек разделяет S на 2 части: . Ес­ли провести прямую из внут­ренней точки D', парал­лельную Оz, то она пересечет S в 2 точках: и . и кусочно и непрерывно дифф-мые функции в D'. По формуле све­дения тройного интеграла к повторному интегралу:

Воспользовались тем, что , и соотношением

справедливым, т.к. внешняя нормаль к образует тупой угол с Оz (=> ).

З2. Из док-ва => формулу (2) мо­жно записать:

Док-во ан-но З1.

Формула Стокса.

Пусть S односвязная (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо­женная на S, ограничивает мн-о, все точки которого S) поверхность в , удовлетворяющая условиям:

1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С;

2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S однозначно проектировалась на из 3 координатных плоскостей.

Пусть n - единичный вектор нормали к S, t - единичный век­тор касательной к C, согласованный с n, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направле­нием t, и если смотреть с конца , то кон­тур С ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки).

Т (формула Стокса). Пусть а - векторное поле, непрерывно дифф-мое в некоторой окрестности поверх­ности S (т. е. на некотором открытом мн-ве в , содержа­щем S). Тогда

Или: Поток вектора через поверхность S равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С.

Док-во. В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют. Формула (1) инвари­антна относительно выбора базиса => достаточно доказать при каком-то одном выборе базиса. Выберем пря­моугольную декартову систему координат Охуz так, чтобы S од­нозначно проектировалась на все три координатные плоскости. Пусть

Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нор­мали образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для в декартовой системе координат

получим

Достаточно доказать:

S - кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху. Пусть D - ее проекция, Г - проекция С на плоскость Оху => дифф-мая ф-я , ко­торая задает уравнение поверх­ности S. При этом

и поверхностный интеграл по S = двойному интегралу по D. По формуле Грина*:

З1. δ > 0 такое, что для части Ф S размера < δ (ее можно расположить в сфере радиуса δ/2) можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проекти­руется на все координатные плоскости. Пусть - фиксированная точка S. Проведем касательную плоскость через ,пусть - вектор единичной нормали поверхно­сти в . Выберем прямоугольную систему координат, чтобы составлял острые углы с осями. Т.к. поле нормалей непрерывно, то окрестность такая, что все нормали в точках этой окрестности обра­зуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ/2 точки , которая однозначно проектируется на все координатные плоскости.

Можно выбрать универсаль­ное, не зависящее от число δ > 0. Пусть такого δ => для каждого можно указать часть поверхности S, размеры которой < и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы коор­динат.

Выберем в каждой точку , из полученной после­д-сти выберем послед-сть, сходящуюся к неко­торой М S. У М окрестность, однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого номера п содержит часть , которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости => противоречие с вы­бором .

Разобьем S на конечное число гладких частей , размер каждой из которых < δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плос­кости некоторой декартовой системы координат => формула Стокса верна для каждой . Просуммируем левые и пра­вые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сокра­тятся => слева получим интеграл по поверхности от , а справа - интеграл по границе С от , т. е. формулу Стокса для общего случая => формулы Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).

З 2. Формула Стокса верна для поверхностей S, допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) по­верхностей. Док-во: просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кри­вым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.

З3. Из док-ва => формулу (1) мо­жно записать в виде (1'):

Интегралы слева и справа в (1') инвариантны, т.к. значения подынтеграль­ных выражений равны соответ­ственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1') тоже не меняется при переходе к новой системе Ох'у' z'; если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р', Q ' и R', то

Якобиан преобразования при переходе к новой систе­ме координат по модулю = 1, параметризация с по­мощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1') не меняют своего значения и формы.

*: π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π. Пусть D удовлетворяет условиям: 1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямо­угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко­ординатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.

Пусть t - единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с .

Т1 (формула Грина). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по направлению непре­рывна в . Тогда справедлива формула