Понятие числового ряда. Критерий Коши.

Арифметические операции над сходящимися числовыми рядами. Теорема Мертенса.

О. Ряд называется сходящимся, если схо­дится послед-сть { S_п } частичных сумм (2) этого ряда. Предел S послед-сти { S_п } - сумма ряда (1):

О1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Т1. Если 2 ряда и сходятся и имеют суммы соот-но U и V, то и ряд сходится и имеет сумму .

Док ̶ во. Пусть

по Т (Сумма (разность) сходящихся послед-стей является сходящейся послед-стью, предел которой равен сумме (разности) пределов этих послед-стей).

Т2. Если 2 ряда и сходятся абсолютно и имеют суммы соотв-но U и V, то ряд, со­ставленный из всех произведений вида (k =1, 2,...; l = 1, 2,...), занумерованных в порядке, также схо­дится абсолютно и его сумма равна UV.

Док ̶ во. Пусть w ₁, w ₂, w ₃, … - произ­ведения вида (k =1, 2,...; l = 1, 2,...), занумерованные в порядке. Пусть . Сумма S_n состоит из членов вида . Пусть т - наибольший среди индексов k и l членов, входящих в S_n. Тогда

Здесь в правой части стоит произведение m - х частичных сумм рядов и => из сходимости этих рядов с неотрицательными членами все их частичные сум­мы (=> и их произведение) ограничены => ограничена { S_n } => ряд сходится => ряд сходится абсолютно => его сумма S не зависит от порядка сум­мирования по теоре­ме Коши (Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством не­которой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.). послед-сть (подпослед-сть) частичных сумм этого ряда сходится к числу S => , т.к. { W_т } → UV, где W_т = (u ₁+…+ u_m) (v ₁+…+ v_m). •

 

Произведение рядов и удобно записывать в специальном виде:

Т3 (теорема Мертенса). Ряд, полученный пе­ремножением двух рядов указанным специальным способом, сходится к произведению сумм перемножаемых рядов в случае, когда один из перемножаемых рядов сходится абсолютно, а другой ̶ сходится хотя бы условно.

Док-во. Пусть сходится абсолютно, а сходится хотя бы условно. Обозначим

Положим ,

Достаточно доказать, что

Элементарно проверяется, что

Из сходимости => его остаток - бесконечно малая => ограниченная по­след-сть => М: для всех п. Заметим, что

где

Т.к. , то достаточно доказать, что {β _n } - бесконечно малая послед-сть. Т.к. сходится абсолютно, то, фиксировав ε > 0, найдем для него т:

И М ₁: для п

Представив β _n в виде

и выбрав по т номер п ₁настолько большим, что

при k > n ₁ ̶ m (это можно сделать в силу бесконечной малости { α _n }), с помощью неравенств:

(при k > n ₁ ̶ m) получим, что при п ≥ п ₁в вы­ражении для β _n каждая |[ ]| < ε/2 => | β _n | < ε при п ≥ п ₁. Т.к. ε > 0 произвольно => {β _n } - бесконечно малая послед-сть.

 

Формула Стокса.

Пусть S односвязная (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо­женная на S, ограничивает мн-о, все точки которого S) поверхность в , удовлетворяющая условиям:

1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С;

2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S однозначно проектировалась на из 3 координатных плоскостей.

Пусть n - единичный вектор нормали к S, t - единичный век­тор касательной к C, согласованный с n, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направле­нием t, и если смотреть с конца , то кон­тур С ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки).

Т (формула Стокса). Пусть а - векторное поле, непрерывно дифф-мое в некоторой окрестности поверх­ности S (т. е. на некотором открытом мн-ве в , содержа­щем S). Тогда

Или: Поток вектора через поверхность S равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С.

Док-во. В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют. Формула (1) инвари­антна относительно выбора базиса => достаточно доказать при каком-то одном выборе базиса. Выберем пря­моугольную декартову систему координат Охуz так, чтобы S од­нозначно проектировалась на все три координатные плоскости. Пусть

Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нор­мали образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для в декартовой системе координат

получим

Достаточно доказать:

S - кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху. Пусть D - ее проекция, Г - проекция С на плоскость Оху => дифф-мая ф-я , ко­торая задает уравнение поверх­ности S. При этом

и поверхностный интеграл по S = двойному интегралу по D. По формуле Грина*:

З1. δ > 0 такое, что для части Ф S размера < δ (ее можно расположить в сфере радиуса δ/2) можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проекти­руется на все координатные плоскости. Пусть - фиксированная точка S. Проведем касательную плоскость через ,пусть - вектор единичной нормали поверхно­сти в . Выберем прямоугольную систему координат, чтобы составлял острые углы с осями. Т.к. поле нормалей непрерывно, то окрестность такая, что все нормали в точках этой окрестности обра­зуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ/2 точки , которая однозначно проектируется на все координатные плоскости.

Можно выбрать универсаль­ное, не зависящее от число δ > 0. Пусть такого δ => для каждого можно указать часть поверхности S, размеры которой < и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы коор­динат.

Выберем в каждой точку , из полученной после­д-сти выберем послед-сть, сходящуюся к неко­торой М S. У М окрестность, однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого номера п содержит часть , которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости => противоречие с вы­бором .

Разобьем S на конечное число гладких частей , размер каждой из которых < δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плос­кости некоторой декартовой системы координат => формула Стокса верна для каждой . Просуммируем левые и пра­вые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сокра­тятся => слева получим интеграл по поверхности от , а справа - интеграл по границе С от , т. е. формулу Стокса для общего случая => формулы Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).

З 2. Формула Стокса верна для поверхностей S, допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) по­верхностей. Док-во: просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кри­вым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.

З3. Из док-ва => формулу (1) мо­жно записать в виде (1'):

Интегралы слева и справа в (1') инвариантны, т.к. значения подынтеграль­ных выражений равны соответ­ственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1') тоже не меняется при переходе к новой системе Ох'у' z'; если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р', Q ' и R', то

Якобиан преобразования при переходе к новой систе­ме координат по модулю = 1, параметризация с по­мощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1') не меняют своего значения и формы.

*: π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π. Пусть D удовлетворяет условиям: 1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямо­угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко­ординатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.

Пусть t - единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с .

Т1 (формула Грина). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по направлению непре­рывна в . Тогда справедлива формула

Понятие числового ряда. Критерий Коши.

Из элементов числовой послед-сти формально образуем бесконечную сумму:

Сумма (1) ̶ чис­ловой ряд, и_k ̶ члены ряда (1). Сумма пер­вых п членов ̶ п ̶ я частичная сум­ма а:

О. Ряд (1) называется сходящимся, если схо­дится послед-сть { S_п } частичных сумм (2) этого ряда. Предел S послед-сти { S_п } - сумма ряда (1):

Если для ряда (1) предела послед-сти частичных сумм (2), то ряд расходящийся.

З1. Изучение число­вых рядов - новая форм изучения числовых последовательностей: 1) каждому ряду (1) однозначно соответствует послед-сть { S_п }его частичных сумм, 2) числовой послед-сти { S_п }однозначно соответ­ствует ряд с членами .

З2. Из определения его сходи­мости => cв-ва произвольного ряда:

I. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление конечного числа членов) не влияет на сходимость или рас­ходимость этого ряда. (Т.к. в после отбрасывания (или добавления) конечного числа членов все частичные суммы ряда, начиная с не­которого n, изменятся на одну и ту же const.)

II. Если с = const ≠ 0, , то ряд сходится ó сходится ряд (Пусть и и учитывая , где с ≠ 0 =>

)

Критерий Коши для послед-сти: Чтобы послед-сть { S_п } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N такой, что для п ≥ N и для :

Т1 (критерий Коши для ряда). Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N такой, что для п ≥ N и для :

Док-во. и применить критерий Коши для послед-сти.

Сл1. Если ряд сходится, то послед-сть n - х остатков ряда является бесконечно малой.

Док-во. Из (3) и из Т (Если все элементы сходящейся послед-сти { х_п }, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству х_п ≥ b [ х_п ≤ b ], то и предел х этой послед-сти удовлетворяет неравенству х ≥ b [ х ≤ b ]) => для ε > 0 N такой, что при п ≥ N.

Сл2 (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда необходимо, чтобы послед-сть и ₁, и ₂, …, и_k,... членов этого ряда являлась бесконечно малой (иначе: для сходимости ряда необходимо, чтобы ).

Док-во. Пусть дано ε > 0. По Т1 N: при п ≥ N и для выполняется (3). При р = 1:

| и_{n+ 1}| < ε (при п ≥ N) =>если положить N ₀ = N+ 1, то при п ≥ N ₀: | и_n | < ε •

Основное св-во ряда с неотрицательными членами: послед-сть час­тичных сумм такого ряда является неубывающей.

Т 2. Чтобы ряд с неотрицательными чле­нами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-сть частичных сумм этого ряда была ограничена.

Необходимость из Т: Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Достаточность: послед-сть час­тичных сумм не убывает => для ее сходимости достаточно, чтобы она была ограничена (по Т: Если неубывающая послед-сть ограничена сверху, то она сходится).

 

2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения. Даламбера, Коши, Коши ̶ Маклорена).

О. Ряд называется сходящимся, если схо­дится послед-сть { S_п } частичных сумм этого ряда. Предел S послед-сти { S_п } - сумма ряда (1):

Основное св-во ряда с неотрицат. членами: послед-сть час­тичных сумм ряда - неубывающая.

Т1. Для того чтобы ряд с неотрицательными чле­нами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-сть частичных сумм этого ряда была ограничена.

Необх-сть из Т: Всякая сходящаяся послед-сть является ограниченной.

Дост-сть: послед-сть час­тичных сумм не убывает => для ее сходимости достаточно, чтобы она была ограничена (по Т: Если неубывающая послед-сть ограничена сверху, то она сходится).

Т2. Пусть и - 2 ряда с неотрицательными членами и для всех номеров k справедливо неравенство

Тогда из сходимости => сходимость ряда ; из расходимости => расходимость .

Док ̶ во. Пусть и . Из (1) => =>

1)из ограниченности послед-сти { S_n '} => ограниченность послед-сти { S_n };

2) из неограниченности послед-сти { S_n } => неограниченность послед-сти { S_n '}.

И применяем Т1. •

З. 1) В условии Т2 можно требовать, чтобы (1) было выполнено а лишь начиная с некоторого номера k, т.к. отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

2) Т2 будет справедливой, если (1) заменить:

где с - const >0 (т.к.: Если с = const ≠ 0, , то сходится ó сходится

Сл. Если - ряд с неотрицательными членами, - ряд со строго положительными членами и если конечный

то из сходимости => сходимость ряда ; из расходимости => расходимость .

Док ̶ во. Т. к.

то для некоторого ε > 0 N: при k ≥ N

=> при k ≥ N: =>это нерав-во совпадает с (2) при . И применить З 2.

Т3. Пусть и ̶ 2 ряда со строго положительными членами и для всех k:

Тогда из сходимости => сходимость ряда ; из расходимости => расходимость .

Док ̶ во. Запишем (3) для k = 1, 2, …, п - 1, где п - номер:

…

Перемножая почленно все написанные неравенства, получим

- const > 0, не зависящая от п => применим З2. •

Признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении ряда со сходящимся (4) или расходящимся (5)

Т4 (пр-к Даламбера). I. Если для всех но­меров k, по крайней мере начиная с некоторого номера:

то сходится (расходится). (предполагается, что все члены ряда (по крайней ме­ре начиная с некоторого номера) строго положительны.)

II. (Пр-к Даламбера в пре­дельной форме). Если

то сходится при L < 1 и расходится при L > 1.

Док ̶ во. I) Положим . Тогда , где q < 1 (), и перепишем (6):

Т.к. ряд , совпадающий с (4) ((5)), сходится (расходится), то из (8) по Т3 => сходимость (расходимость) .

II) Если L < 1, то ε > 0: L= 1 ̶ 2ε, т. е. L + ε = 1 ̶ ε. По опре­делению предела послед-сти для этого ε N: при k ≥ N

L + ε =1 ̶ ε = q в TI. Ряд сходится.

Если же L > 1, то ε > 0: L= 1+ ε и L ̶ ε = 1=> из левого нера­венства (6):

Ряд расходится по ТI

З. 1) в Т4(I) нельзя заменить на : гармонический ряд

расходится, но здесь (для всех k).

2) При L = 1 в Т4(II)нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда: для гармонического ряда L= 1, причем он расходится. Но для тоже L= 1,но он сходится.

Т5 (признак Коши). I. Если для всех номеров k, по крайней мере начиная с некоторого номера:

то сходится (расходится).

II. (признак Коши в предельной форме). Если

то сходится при L < 1 и расходится при L > 1.

Док ̶ во. I) Положим => из (10):

Т.к. совпадающий с (4) ((5)), сходится (расходится), то из (12) => сходимость (расходимость) по Т2.

II) Дословно повто­рить док-во Т4(II), заменив на .

З. Аналогичны замечаниям к Т4.

Пр-к Коши более сильный, чем пр-к Даламбера: когда действует пр-к Даламбера, действует и пр-к Коши, но ряды, для которых действует Коши и не действует Даламбер.

Утв. Из существования равного L, предела

=> существование равного тому же L предела

Л1. Если послед-сть { а_п } → l, то к тому же l сходится и послед-сть σ_п = (а ₁+ a ₂ + … +а_п) / п средних арифметических чисел а ₁, а ₂ ,...,а_п.

Док- во. { а_п } → l => для ε > 0 N: | а_п ̶ l | < ε/2 для всех п ≥ N. При всех п >N:

получим, что при всех п ≥ N ₁.

Модуль дроби в {} ≤ . Т.к. N фиксирован, то модуль дроби в [ ] ≤ ε /2 при всех п ≥ N ₁, где N ₁ ̶ достаточно большое число => при всех п ≥ N ₁.

Л2. Если { а_п } → L (все а_п > 0), то к L сходится и послед-сть средних геометрических чисел а ₁, а ₂ ,...,а_п.

Док ̶ во. Для L > 0 силу непрерывности логарифмической функции

=> т.к. показательная функция непрерывна, то

(Эти рассуждения справедливы и при L = 0, если считать ln L = ̶ ∞.)

Док-во утв-я. Применяя Л2 к числам а ₁ = p ₁, а ₂ = р ₂ /р ₁, …, а_п = р_п / р_{п ̶ 1}и т.к.

установим существование равного тому же L предела

Т6. (признак Коши - Маклорена). Пусть f (х) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой х ≥ m, где т ̶ фиксированный номер. Тогда числовой ряд

сходится ó предел при п → ∞ послед-сти

Док ̶ во. Пусть k ̶ номер: k ≥ т+ 1, х из [ k ̶ 1, k ]. Т.к. f (x) не возрастает на [ k ̶ 1, k ], то для х [ k ̶ 1, k ]:

f (x) ограниченна (0-м) и монотонна => интегрируема на [ k ̶ 1, k ]. Из (15) и из свойства интеграла

(16) установлены для k ≥ т+ 1. Запи­шем для k, равных т+ 1, т+ 2,..., п, где п - номер: n ≥ т:

Из (14) => послед-сть { а_п }- неубывающая => для ее сходимости необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости (13) по Т1 необходима и дос­таточна ограниченность послед-сти { S_n }. Из (18) => { S_n } ограничена ó ограничена { а_п } ó { а_п } сходится.

 

3. Теоремы Коши иРимана о перестановке членов в числовых рядах.

О1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Т1. Из сходимости ряда (2) вытекает сходи­мость ряда (1).

Док-во. Используем критерий Коши для ряда (Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 N: для п ≥ N и для :

Фиксируем ε > 0. Ряд (2) сходится => то по критерию Коши N: для п ≥ N и :

Так как модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей, то

Сопоставляя эти 2 неравенства, получим неравенства (3).

О2. Ряд (1) называется условно сходя­щимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей (2) расходится.

Пример абсолютно сходящегося ряда:

Пример условно сходящегося ряда:

Т2. (теорема Римана). Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L, можно так пере­ставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L.

Док ̶ во. Пусть (1) ̶ условно сходящийся ряд. Пусть р₁, p ₂, р ₃ ,... - положительные члены ряда (1), q₁, q ₂, q ₃,... - моду­ли отрицательных членов ряда (1), выписанные в таком же порядке, в каком они стоят в этом ряде. Ряд (1) содержит бесконечное число положительных и отрицательных членов, ибо если бы членов одного знака было конечное число, то, отбро­сив не влияющее на сходимость конечное число первых членов, мы бы получили бы ряд, состоящий из членов одного знака, для которого сходимость означала бы абсолютную сходимость.

Докажем, что ряды с положительными членами - расходящиеся. Обозначим , Р_п - сумму всех положительных членов, входящих в S_п, Q_п - сумму модулей всех отрицательных членов, входящих в S_п => S_п = Р_п ̶ Q_п. Т.к. по условию ряд (1) сходится к некоторому числу S, то

Но т.к. (1) не сходится абсолютно, то

 

т. е. оба ряда Р и Q расходятся=> даже после удаления любого конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из оставшихся членов рядов Р и Q столь большое число членов, что их сумма превзойдет любое наперед взятое число.

Выберем из (1) ровно столько положительных р ₁, p ₂, …, р_k1, чтобы р ₁ + p ₂ + … + р_k1 > L. Добавим ровно столько отри­цательных ̶ q₁, ̶ q ₂ ,…, ̶ q_k2, чтобы р ₁ + p ₂ + … + р_k1 ̶ q₁ ̶ q ₂ ̶ … ̶ q_k2 < L. За­тем снова добавим р_{k 1+1}, p _{k 1+2}, …, р_k2, чтобы р ₁ + p ₂ + … + р_k1 ̶ q₁ ̶ q ₂ ̶ … ̶ q_k2 + р_{k 1+1} + p _{k 1+2} + …+ р_k2 > L. Про­должая, получим бесконечный ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1), т.к. каждый раз придется добавлять хотя бы 1 поло­жительный или отрицательный член исходног