Поверхностные интегралы первого и второго рода.

Пусть Ф - поверхность, определяе­мая уравнениями

Пусть выполнены требова­ния А:

1) ф-и (1) имеют в области G непрерывные частные производные 1-го порядка по и и v;

2)всюду в G rang А = 2, где

Поверхность Ф, определяемую уравнениями (1), при выполнении А 1) на­зывают гладкой, а при выполнении А 2) - не имеющей особых точек.

Поверхности Ф, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей, называются двусторонними.

Поверхность Ф называется пол­ной, если любая фундаментальная послед-сть точек этой поверхности сходится к точке этой поверх­ности.

Поверхность Ф называется огра­ниченной, если существует 3-мер­ный шар, содержащий все точки этой поверхности.

Пусть Ф - гладкая без особых точек ограниченная полная двусторонняя поверхность, определяемая уравнениями (1) в области G. Пусть на Ф определены 4 функции: f (х, у, z), Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z), непрерывные (=> равномерно непрерывные) на множестве то­чек Ф. Разобьем Ф при помощи гладких или кусочно гладких кривых на конечное число частичных поверхностей , пусть диаметр раз­биения Δ - максимальный размер . Выберем на каждой .

Пусть n () - единичная нормаль в точке , - ее направляющие косинусы). Пусть - площадь :

где - подобласть G, образом которой является . Составим 4 суммы:

О1. Число (k = 1, 2, 3, 4) называется пре­делом сумм при , если для ε > 0 δ = δ(Δ) > 0 такое, что при (независимо от выбора ) выполняется

О2. Если при предел сумм , то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от f (х, у, z) по поверхности Ф:

О2 *. Если при пределы сумм , где k = 2,3, 4, то эти пределы называются поверх­ностными интегралами 2-го рода:

Сумма (3²) - (3⁴) называется общим по­верхностным интегралом 2-го рода:

где А = А (х, у, z) - вектор с компонентами Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z), n ={соs Х, соs Y, соs Z} - вектор единичной нормали к поверхности Ф. Изопределений =>

1) поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от выбора стороны поверхности и не меняется при изменении направления нормали на противоположное, 2-го рода меняют знак;

2) интеграл 1-го рода (3¹) и общий интеграл 2-го рода (3⁵) не зависят от выбора системы координат и инвариантны относительно перехода к новым координатам;

3) каждый из интегралов 2-го рода (3²) - (3⁴) сводится к поверхностному интегралу 1-го рода (3¹): взять в интеграле 1-го рода f (М)соответственно равной и , причем если Р, Q и R являются непре­рывными на Ф, то и f окажется непрерывной вдоль Ф.

Т. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограни­ченная поверхность без особых точек, задаваемая уравнениями (1), а функция f (х, у, z)[ Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z)] непрерывна вдоль Ф, то поверхностный ин­теграл (3¹) [(3²) - (3⁴)] существует и сводится к обычному двойному интегралу:

Док-во. Достаточно док-ть только для (3¹) и (4¹), т.к. все интегралы 2-го рода сво­дятся к этому интегралу. Интеграл в правой части (4¹) (обоз­начим его , существует (т.к. подынтегральная функция непрерывна) => достаточно доказать, что предел сумм (2¹) при диаметре разбиения и = . Фиксируем ε > 0 и оценим разность

Т.к. f (М)равномерно непрерывна на Ф, то для этого ε > 0 δ = δ(ε) > 0: при :

где - площадь поверхности Ф. Из (5), (6) =>

при Δ < δ => равный предел сумм при .

 

26. Преобразование базисов. Инварианты линейного оператора.

Разложение вектора по базису пр-ва ( - коэффициенты):

Пусть - базис в n -мерном пространстве . - линейно независимые векторы.

О. Базис - биортогональный к базису , если

Утв. Для базиса пр-ва биортогональный базис .

Док-во. Пусть - линейная оболочка векторов . Взяв из ортогонального дополнения к вектор , нормированный условием , найдем . Векторы также образуют базис . Если бы это было не так, то нашелся бы вектор из , который неоднозначно разлагался бы по системе , т. е. нулевой вектор имел бы разложение по базису с коэффи­циентами, не равными одновременно 0 => некоторый вектор из системы принадлежал бы линейной обо­лочке векторов => (т.к. при ). Но этого не может быть, т.к. по построению .

Т.о., к произвольному базису построен биортогональный базис , причем все векторы этого базиса определяются единственным образом: если бы был еще 1 биортогональный базис , то для всех => , т.к. если некоторый вектор ортогонален всем векторам ба­зиса, то он ортогонален и самому себе => является нулевым вектором.

Рассмотрим переход от биортогональных базисов к новым биортогональным базисам . Разло­жения базисных векторов:

(), () - матрицы прямого и обратного пе­рехода от к , ()и () - от к .

(1), (2) - формулы перехода от старых базисов к новым и обратно.

Преобразования (1) взаимно обратны => () и () взаимно обратны: умножив 1-ое из (1) скалярно на , а 2-ое - на , получим, учитывая биортогональность базисов: .

Но из (1) =>

=> , т. е. матрицы и взаимно обратны.

Аналогично и вза­имно обратны.

Утв. Матрица совпадает с , а матрица совпадает с .

Док-во. Т.к. и взаимно обратны и и тоже, достаточно доказать .

Сл. Для перехода от базисов к базисам достаточно знать только матрицу перехода от к (матрица является обратной к и вы­числяется по ней).

Пусть и - биортогональные базисы, а - вектор => разложения а:

Умножим 1-ое из (6) скалярно на , а 2-ое - на :

Подставим в 1-ое (8) вместо а вектор , а во 2-ое - вектор :

где

Умножим 1-ое из (9) скалярно на , а 2-ое - на :

т. е. матрицы и взаимно обратны и по по­строению в силу симметрии скалярного произведения симмет­ричны.

Если - старый базис, - но­вый, и - биортогональные к ним базисы и если

то из (7) => . Подставим в правую часть вместо его выражение из (5):

=> координаты вектора а, разложенного по базису (биортогональному к ),в новом базисе имеют вид

- матрица прямого перехода от старого к базису , - координаты а в разложе­нии по биортогональному базису : .

Т.о., координаты а, при переходе от старого ба­зиса к новому преобразуются с помощью - мат­рицы перехода от старого базиса к новому по формуле (10) => координаты преобразуются «согласо­ванно», и эти координаты называются ковариантными координатами вектора а.

Если согласно (7) записать и подставить вместо его выражение из (5), то

Из (11) => при переходе к новому базису координаты в разложении вектора а по старому базису () преобразуются с помощью матрицы перехода от нового базиса к старому => координаты преобразуются «несо­гласованно», и эти координаты - контравариантные коор­динаты вектора .

Рассмотрим линейный оператор А в пр-ве . Пусть и - биортогональные базисы в . Докажем соотношения, справедливые для ЛО А:

1) ;

2) (векторное).

1) Из (9) => => (т.к. ( и вза­имно обратны и симметричны)

2) Ан-но,

Некоторое выражение называется инвариантом, если оно не меняется при преобразовании ба­зиса пр-ва (напр., скалярное произведение двух векторов). Пусть и - биортогональные базисы в .

У1. Величина (или ей равная ) - инвариант.

Док-во. Надо показать, что если перейти к другому базису ( - биортогональный базис к ), то будет выполнено равенство .

Из (5) => , , где - матрица перехода от к , ( - обратная ей матрица =>

О1. Инвариант (или ) ЛО А называется дивергенцией этого оператора: .

З1. Для построения матрицы ЛО А достаточно задать оператор на базисных векторах , т. е. задать векторы . Разложим по базису :

- матрица ЛО A в бази­се => Теперь дивергенция ЛО А через элементы матрицы :

З2. - матричный след оператора А,он равен сумме собственных чисел опе­ратора A с учетом их кратности: , где - занумерованные с учетом их кратности собствен­ные числа оператора А. Сумма не зависит от выбора базиса прост­ранства => не зависит от выбора базиса, т. е. является инвариантом.

У2. Величина (или ей равная ) - инвариант.

Док-во. Пусть - новый базис ( - биортогональный к ). Из (5): ,

О2. Инвариант (или ) ЛО А называется ротором этого оператора:

Пусть в выбран ортонормированный базис i, j, k, биортогональный базис совпадает с ним самим. Из (12) =>

Через элементы матрицы оператора A. Из (12):

=>

Ан-но

=>