Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.

Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Пусть L определяется параметрически (a ≤ t ≤ b) (1), незамкнута и ограничена точками А и В: .

Пусть на L=АВ определены 3 функции: f (х, у), Р (х, у), Q (х, у), непрерывные (=> равномерно непрерывные) вдоль L (для f (х, у): для ε > 0 δ > 0: для ).

Разобьем [ а, b ]: на п частичных сегментов .

L распадается на п частичных дуг: ,где имеют коорди­наты , .

Выберем на каждой , . Пусть - длина k -й частичной дуги :

Составим 3 интегральные суммы:

где

О1. Назовем число I пределом интегральной суммы (s = 1, 2, 3) при , если для ε > 0 δ > 0 такое, что (независимо от выбора ) , как только Δ < δ.

О2. Если предел интегральной сум­мы при , то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от f (х, у) по кривой L:

О3. Если предел интегральной суммы [ ] при , то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от Р (х, у)[ Q (х, у)] по кривой L = AB

- общий криволинейныйинтеграл 2-го рода

Из определения => криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления пробега L, а для 2-го рода изменение на­правления на L ведет к изменению знака

О4. Кривая L называется гладкой, если из определяющих ее урав­нений (1) имеют на [ а, b ] непрерывные производные (т. е. они непрерывны в a < t < b и имеют конечные предельные значения в а справа и в b слева).

Особые точки кривой L - точки, соответствующие значению t из [ а, b ]: . Обыкновенные точки L: .

Т. Если кривая L = AB является гладкой и не со­держит особых точек и если f (х, у), Р (х, у), Q (х, у) непрерывны вдоль L, то криволинейные интегралы (4¹) и (4²) и могут быть вычислены:

Док-во. Определенные интегралы справа в (5¹), (5²), (5³) , т.к. их подынтег­ральные ф-и непрерывны на a ≤ t ≤ b. Вывод (5²) и (5³) аналогичен => будем выводить (5¹) и (5²) и доказы­вать существование (4¹) и (4²).

Разобьем [ а, b ]на п частичных и составим суммы (3¹), (3²). Учитывая (2) и

представим (3¹) и (3²) в виде:

Пусть и - определенные интегралы в правых частях (5¹) и (5²), представим их по [ а, b ]в виде суммы п интегралов по . Оценим разности

При сделанных предположениях о f (х, у), Р (х, у)и ф-х (1) ф-и и как сложные ф-и аргумента t непрерывны на [ а, b ] => равномерно непрерывны на [ а, b ].

и непрерывны на [ а, b ]и ≠ 0 одновременно, то

=> при наибольшая из .

Т. о., для ε > 0 δ > 0 такое, что при Δ < δ в (6¹) , где l - длина кривой L, а в (6²)

Полагая Δ < δ, получим для (6¹), (6²) оценки:

=> интегральные суммы и при имеют пределы соотв-но и => криволинейные интегралы (4¹), (4²) и для них справедливы (5¹), (5²).

З. Криволинейные интегралы имеют те же свойства, что и обычные определенные интегралы.

1°. Линейное св-во. Если для f (х, у) и g (х, у) криволинейные интегралы по кривой АВ и ес­ли α и β - постоянные, то для также криволинейный интеграл по кривой АВ:

2°. Аддитивность. Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ, не имеющих общих внутренних точек, и если для f (х, у) криволинейный интеграл по дуге АВ, то для f (х, у) криволинейный интеграл по АС и СВ, причем

3°. Оценка модуля интеграла. Если кри­волинейный интеграл по кривой АВ от f (х, у), то и криволинейный интеграл по кривой АВ от , причем

4°. Формула среднего значения. Если f (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то М AB такая что

 

 

23. Понятие поверхности. Нормаль и касательная к поверхности. Лемма о проекции окрестности точки на касательную поверхность.

О1. Отображение f области G на плоскости на множество G* 3-мерного пр-ва называется гомео­морфным, если это отображение осуществляет взаимно одно­значное соответствие между точками G и G*, при котором каждая фундаментальная послед-сть точек G переходит в фундаментальную послед-сть точек G* и, наоборот, каж­дая фундаментальная послед-сть точек G* является об­разом фундаментальной послед-сти точек G.

О2. Отображение f области G на G * называет­ся локально гомеоморфным, если у каждой точки G есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.

О3. Область G на плоскости Т называется элементарной, если эта область является образом открытого круга D при гомеоморфном отображении этого круга на плос­кость Т.

О4. Связная область G на плоскости Т назы­вается простой, если точка G имеет окрестность, являю­щуюся элементарной областью.

О5. Множество точек Ф пр-ва называ­ется поверхностью, если это множество является образом простой плоской области G при локально гомеоморфном отобра­жении f области G в пр-во Е ³.

Окрестность точки М поверхности Ф - подмножество точек Ф, принад­лежащее окрестности точки М в Е³.

Пусть на плоскости (и, v)задана простая область G и для всех точек этой области определены 3 ф-и:

или 1 векторная ф-я

где - вектор с компонентами . Пусть выполнены требова­ния А:

1) ф-и (1) имеют в области G непрерывные частные производные 1-го порядка по и и v;

2)всюду в G rang А = 2, где

Утв. При выполнении требований А множество Ф точек, определяемых уравнениями (1), представляет собой поверхность.

Док-во. Пусть - точка G. Из А 1) => ф-и (1) непрерывны => малая окрест­ность отображается в малую окрестность , где .

Из непрерывности ф-й (1) => раз­ность можно сделать меньше ε > 0 при => если - фундаментальная послед-сть точек в малой окрестности , то послед-сть их образов , где также является фундаментальной в Ф.

Т.к. в каждой rang А = 2, то в хотя бы 1 минор 2-го порядка матрицы (2) ≠ 0. Пусть

=> и из А 1): для системы

вокрестности выполнены условия теоремы о разрешимости системы функциональных уравнений => система (3) имеет в окрестности единственное непрерывное и дифференци­руемое решение

=> гомеоморфное отображение ма­лой окрестности точки на малую окрестность точки плоскости Оху. (В 1 сторону это отображение за­дается непрерывными ф-ями (4), а в другую сторону - пер­выми двумя соотношениями (1), в которых также непрерывны; непрерывность всех функций обеспечивает перевод фундаментальной послед-ти в окрестности одной из или в фундаментальную послед-сть в окрестности другой из этих точек.) Подставляя (4) в третью ф-ю (1), получим непрерывную в окрестности ф-ю

Она осуществляет гомеоморфное отображение малой окрестности плоскости Оху на малую окрестность . Т.к. суперпозиция гомеоморфных отображений - гомеоморфное отображение, то гомеоморфно отображение малой окрестности точки на малую окрест­ность точки => множество Ф точек, определяемых уравнения­ми (1), при выполнении требований А является поверхностью.

З1. Поверхность Ф, определяемую уравнениями (1), при выполнении А 1) на­зывают гладкой, а при выполнении А 2) - не имеющей особых точек.

З2. Гладкая без особых точек поверхность в достаточно малой окрестности каж­дой из своих точек однозначно проектируется хотя бы на 1 из трех координатных плоскостей.

Пусть поверхность Ф определяется уравнениями (1), для которых выполнены требования А.

Геометрический смысл векторной ф-и . Если фиксиро­вать из G, то определяет кривую на Ф (координатную линию), вектор - касательный к этой линии. Аналогично при уравнение определяет другую координатную ли­нию, вектор - касательный к ней. Че­рез , где , проходят обе линии.

rang А = 2 => векторы и линейно незави­симы, т. е. неколлинеарны => они определяют плоскость, касательную к Ф в . Нормальный вектор этой касательной плоскости называется нормалью к Ф в и определяется через векторное произведение:

- вектор единичной нормали к Ф. В силу требований, наложенных на ф-и (1), непрерывен по и и v в некоторой окрестности точки Ф => в окрестности точки гладкой поверхности без особых точек не­прерывное векторное поле нормалей.

Поверхности Ф, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей, называются двусторонними.

Поверхность Ф называется пол­ной, если любая фундаментальная послед-сть точек этой поверхности сходится к точке этой поверх­ности.

Поверхность Ф называется огра­ниченной, если существует 3-мер­ный шар, содержащий все точки этой поверхности.

Л1. Если Ф - гладкая поверхность и - не особая ее точка, то достаточно малая окрестность точки однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку этой окрестности.

Док-во. Пусть для окрестности точки : 1) нормаль в пределах этой окрестности составляет с нор­малью в угол < , 2) окрестность однознач­но проектируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (напр., Оху). Такую окрест­ность можно выбрать, т.к. уста­новлено существование окрестности со свойствами: 1) в этой окрестности непрерывное векторное поле нормалей; 2) она одно­значно проектируется на одну из координатных плоскостей (=> есть часть, проектирующаяся на некото­рый круг в координатной плоскости).

2 нормали к точкам составляют угол < .

Пусть окрестность не проек­тируется однозначно на касательную плоскость, проходящую че­рез некоторую => в найдут­ся точки Р и Q: хорда PQ нормали к в точке М. Рассмотрим линию пересечения с плоскостью, параллельной оси Оz и проходящей через PQ (предпола­гаем, что однозначно проектируется на Оху). На этой линии по Т. Лагранжа точка N, касательная в которой хорде PQ => параллельна нор­мали в точке М => нормали в М и N со­ставляют угол , что противоречит выбору .

Участок поверхности имеет размеры меньше δ (δ > 0), если он лежит внутри шара ра­диуса δ/2.

Л2. Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф без особых точек δ> 0 такое, что участок Ф, размеры которого < δ, однозначно проектируется а) на 1 из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через точку этого участка.

Док-во. Из З2 и Л1 => для точки поверхности Ф доста­точно малая окрестность , которая однозначно проектируется а) на 1 из координатных плоскостей, б) на касательную плос­кость, проходящую через точку . Пусть утверждение Л2 неверно, т. е. такого δ > 0 => для (n = 1, 2,...) участок имеющий раз­меры < и не проектирующийся однозначно либо на 1 из координатных плоскостей, либо на касательную плоскость, проходящую через некоторую . Выберем в каждой части точку и выделим из послед-сти то­чек ограниченной полной поверхности Ф подпослед-сть , сходящуюся к некоторой .

В силу З2 и Л1 достаточно малая окрестность точки , которая однозначно проектируется на 1 из координатных плоскостей и на касательную плоскость, проходящую через точку . Все ,начиная с неко­торого ,попадут внутрь , а это противоречит выбору .

Л3. Пусть Ф - гладкая без особых точек двусторонняя полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями (1). Тогда для ε > 0 δ > 0 такое, что для каж­дого участка поверхности Ф, имеющего размеры < δ, угол γ между двумя нормалями к точкам этого участка удов­летворяет условию , где 0 ≤ α < ε.

Док-во. Ф двусторонняя => поле нормалей непрерывно => равномерно непре­рывно на всей Ф => для ε > 0 δ > 0: для и , для ко­торых , справедливо неравенство

( - вектор единичной нормали). Т.к. , а величина

то и для α в силу (8):

24. Площадь поверхности. Квадрируемость поверхности.

 

Пусть Ф - поверхность, определяе­мая уравнениями

Пусть выполнены требова­ния А:

1) ф-и (1) имеют в области G непрерывные частные производные 1-го порядка по и и v;

2)всюду в G rang А = 2, где

Поверхность Ф, определяемую уравнениями (1), при выполнении А 1) на­зывают гладкой, а при выполнении А 2) - не имеющей особых точек.

Поверхности Ф, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей, называются двусторонними.

Поверхность Ф называется пол­ной, если любая фундаментальная послед-сть точек этой поверхности сходится к точке этой поверх­ности.

Поверхность Ф называется огра­ниченной, если существует 3-мер­ный шар, содержащий все точки этой поверхности.

Пусть Ф - гладкая без особых точек ограниченная полная двусторонняя поверхность. С помощью гладких кривых разобьем Ф на конечное число не имеющих общих внутренних точек гладких участков , имеющих размер < δ, где δ достаточно мало и определяется условиями Л*. Пусть диаметр разбиения Δ - максимальный из размеров . На каждом выберем и спроектируем на касательную плоскость, проходящую че­рез . Пусть - площадь проекции на эту касательную плоскость. Составим сумму площадей проекций всех участков

О1. Число называется пределом сумм (2) при , если для ε > 0 δ> 0 такое, что для всех разбиений Ф гладкими кривыми на конечное число частей для которых , независимо от выбора на частях выполняется неравенство

О2. Если для поверхности Ф пре­дел сумм (2) при , то поверхность Ф называется квадрируемой, а число называется ее площадью.

Т1. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность Ф без особых точек, определяемая уравнениями (1), квадрируема, и для ее площади справедливо равенство

Док-во. При условиях Т подынтегральная функция в (3) непрерывна в G и интеграл (3) .

Фиксируем ε > 0 и по нему δ > 0 такое, что выполнены условия:

1) часть поверхности Ф, размеры которой < δ, однозначно проектируется на касательную плоскость, проходя­щую через точку ;

2) косинус угла γ между двумя нормалями каждого участка размера < δ, представим в виде , где и ( - величина (3)).

Такой выбор δ > 0 возможен в силу Л* и Л**.

Разобьем с помощью гладких кривых поверхность Ф на не имеющие общих внутренних точек частич­ные участки размера < δ и, выбрав на каждом ,спроектируем на касательную плос­кость в точке . Обозначим через площадь проекции и соста­вим сумму (2).

Для вычисления используем формулу замены переменных в двойном интеграле. Выберем декартову систему координат: ее начало совпадает с , ось Оz направлена по вектору нормали к поверхности в , Ох и Оу расположены в касательной плоскости в точке . В этой системе Ф определяется уравнениями (1), вектор нормали имеет координаты { А, В, С }, где

Косинус угла между нормалью в точке М участ­ка и осью Оz:

Для точек , в силу выбора δ и ориентации оси Оz, С > 0. Угол является углом между нормалями в точках М и участка => для него справедливо представление .

Если части отвечает часть простой плоской области G, то, используя формулу для площади плоской области при переходе от координат (х, у)к координатам (и, v)с помощью соотно­шений ,получим

=> из (4) и (5)

Применяя к (6) формулу среднего значения***:

где - некоторая точка . Заменив в (7):

Просуммируем (8) по i, учитывая

=> используя оценку для :

З1. Формула (3) инвариантна относительно выбора осей координат.

З2. В общем случае согласно Л*поверхность Ф можно разбить на конеч­ное число частей, каждая из которых определяется своими урав­нениями (1) => площадь поверхности можно опреде­лить как сумму площадей этих частей. Площадь каждой части можно вычислть по формуле =>

Т1 *. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность без особых точек квадрируема.

З3. Если Ф кусочно гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных полных дву­сторонних поверхностей, то Ф квадрируема и ее площадь можно определить как сумму площадей состав­ляющих ее поверхностей.

З4. Если обозначить

то, т.к. для векторов а и b: , получим

З5. Св-во аддитивности: если Ф разбита кусочно гладкой кривой на части Ф₁ и Ф₂, не имеющие общих внутренних точек, то площадь Ф равна сумме площадей Ф₁ и Ф₂. Вытекает из представления площади поверхности с помощью интеграла и аддитивного св-ва интеграла.

-------------------------------

*: Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф без особых точек δ> 0 такое, что участок Ф, размеры которого < δ, однозначно проектируется а) на 1 из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через точку этого участка.

**: Пусть Ф - гладкая без особых точек двусторонняя полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями (1). Тогда для ε > 0 δ > 0 такое, что для каж­дого участка поверхности Ф, имеющего размеры < δ, угол γ между двумя нормалями к точкам этого участка удов­летворяет условию , где 0 ≤ α < ε.

***: Если f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области D, g (х, у) ≥ 0(≤ 0) всюду в D,

то такое, что:

Если при этом f (х, у) непрерывна в D, а область D связна, то в D .