Теорема Арцела. Признак равностепенной непрерывности функциональной последовательности.

О1. Функц. послед-сть { f_n (x)} сходится к функции f (х) равномерно на { х }, если для ε > 0 N= N (ε): для всех п (п ≥ N (ε)), и для всех х { х }:

О2. Функц. послед-сть { f_n (x)} называется равномерно ограниченной на { x }, если вещественное M > 0, что для всех п и всех точек х { x }:

Пусть каждая f_n (x)из { f_n (x)}определена на некотором плотном в се­бе { x } пр-ва Е^т.

О3. Послед-сть { f_n (x)} называется рав­ностепенно непрерывной на { х }, если для ε > 0 δ > 0: неравенство

справедливо для всех п и всех х' и х" { х }, связанных условием ρ (х', х") < δ.

Из определения => если вся { f_n (x)}равностепенно непрерывна на { х }, то и ее подпослед-сть равностепенно непрерывна на { х }. Рассмотрим { f_n (x)}функций одной переменной х, равностепенно непрерывную на [ а, b ]. По определению для ε > 0 δ > 0: неравенство (1) справедливо для всех п и всех х' и х" [ а, b ], связанных условием | х' ̶ х"| < δ.

Т1 (теорема Арцела). Если { f_n (x)} равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на [ а, b ], то из этой послед-сти мож­но выделить подпослед-сть, сходящуюся равномерно на [ а, b ].

Док ̶ во. Рассмотрим на [ а, b ]специальную послед-сть точек { x_n }: х ₁делит [ а, b ]на 2 равные ча­сти; х ₂и х ₃ вместе с х ₁делят [ а, b ]на 4 равные части; х ₄, х ₅, х ₆и х ₇вместе с х ₁, х ₂и х ₃де­лят [ а, b ]на 8 равных частей и т. д. Построенная послед-сть всюду плотная на [ а, b ]: для δ > 0 п ₀: на принадлежащем [ а, b ] сегменте длины δ лежит хотя бы 1 из элементов х ₁, х ₂, ..., х_{п 0}.

Выделим из { f_n (x)} равномерно на сегменте [ а, b ]сходящуюся подпоследова­тельность. Рассмотрим { f_n (x)} в точ­ке х ₁. Получим ограниченную числовую послед-сть { f_n (х ₁)}, из которой по Т. Больцано - Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпослед-сть:

Далее рассмотрим функц. послед-сть в точке х ₂. По Т. Больцано- Вейерштрасса из нее выделим сходящуюся подпослед-сть:

=> функц. послед-сть

сходится и в х ₁, и в х ₂. Продолжая, получим бесконечное множество подпослед-стей

………………………………

………………………………

причем подпослед-сть, стоящая в n ̶ й строке, сходится в каждой из х ₁, х ₂ ,..., х_п.

«Диагональную» послед-сть обозначим:

Докажем, что она равномерно сходится на [ а, b ].

Фиксируем ε > 0. Т.к. диагональная послед-сть равностепенно непрерывна на [ а, b ], то для этого ε > 0 δ > 0: для х и х_т [ а, b ], связанные не­равенством | х - х_т| < δ, для всех п справедливо:

Разобьем [ а, b ]на конечное число отрез­ков длины < δ. Из { х_п }выберем конеч­ное число п ₀1-х членов х ₁, х ₂, ..., х_{п 0}настолько большое, что­бы в каждом из этихх отрезков содержалась хотя бы 1 из точек х ₁, х ₂, ..., х_{п 0} . Диагональная послед-сть сходится в каж­дой х ₁, х ₂, ..., х_{п 0} => для фиксированного выше ε > 0 N:

для всех п ≥ N, всех р и всех т =1, 2, …, п ₀.

Пусть х - точка [ а, b ], она обязательно лежит в одном из отрезков дли­ны < δ => для этой точки х найдется хоть 1 точ­ка х_т (т - один из номеров 1, 2,..., п ₀), удовлетворяющая условию | х - х_т| < δ.

Т.к. модуль суммы не превосходит суммы модулей:

=> (3) + (4) +(3) + условие | х - х_т| < δ: для ε > 0 N:

для всех п ≥ N, всех р и х из [ а, b ] => рав­номерная сходимость диагональной послед-сти. •

З1. В Т. Арцела вместо равномерной ограниченности { f_n (x)} на [ а, b ]достаточ­но потребовать ограниченности { f_n (x)} хотя бы в 1 точке [ а, b ]: если { f_n (x)} рав­ностепенно непрерывна на [ а, b ] и ограничена хотя бы в 1 точке х ₀[ а, b ], то { f_n (x)} равно­мерно ограничена на [ а, b ].

Док-во. По определению равностепенной непре­рывности для ε = 1 δ > 0: колебание f_n (x)на сегменте длины < δ не превосходит ε = 1. Т.к. весь [ а, b ]можно покрыть конечным числом п ₀ сегментов длины < δ, то колебание f_n (x)на всем [ а, b ]не превос­ходит числа п ₀ => из неравенства , выражаю­щего ограниченность { f_n (x)}в х ₀ => , справедливое для х из [ а, b ]=> равномерная ограниченность { f_n (x)}на [ а, b ].

З2. Достаточный признак равностепенной непрерывности: если { f_n (x)} состоит из дифференцируемых на [ а, b ] функций и если { f_n ' (x)} равно­мерно ограничена на [ а, b ], то { f_n (x)} равностепенно непрерывна на [ а, b ].

Док-во. Возьмем на [ а, b ]2 точки х' и х", по Т. Лагранжа ξ _n [ х', х" ]:

Т.к. { f_n ' (x)} равномерно ограничена на [ а, b ] => А > 0: для всех п:

Подставляя (7) в (6):

Фиксируем ε > 0 => взяв δ = ε / A и использовав (8), получим: для всех п и для всех х' и х" из [ а, b ], свя­занных | х'- х" | < δ: => равностепенная непрерывность { f_n (x)}.

16. Степенные ряды. Теорема Коши ̶ Адамара. Непрерывность суммы, почленное интегр-ние и дифф-ние степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Определения сходимости???

Степенной ря­д - функц. ряд вида ( - постоянные веществ. числа)

степенной ряд сходится в х = 0, степенные ряды, сходящиеся только в х = 0 ().

Числовая послед-сть из коэффициентов а_n:

2 случая: 1) (2) неограничена; 2) (2) ограничена => у (2) конеч­ный верхний предел (Т*) L ≥ 0 => Могут быть 3 случая: I) (2) не­ограничена; II) (2) ограничена и имеет конечный верхний предел L > 0; III) (2) ограничена и имеет верхний предел L = 0.

Т1 (Коши - Адамара). I. Если (2) не ограничена, то степенной ряд (1) схо­дится лишь при х = 0.

II. Если (2) ограничена и имеет верх­ний предел L > 0, то ряд (1) абсолютно сходится для х, удовлетворяющих |х| < 1 / L, и расходится для х, удовлетворяющих |х| > 1 / L.

III. Если (2) ограничена и ее верхний предел L = 0, то ряд (1) абсолютно сходится для всех х.

Док-во. I. (2) не ограничена => при х ≠ 0посл-сть не ограничена => у нее имеются члены со сколь угодно большими п, удовлетворяющие => => для (1) (при х ≠ 0) нарушено необходимое условие схо­димости (2*) => (1) расходится при х ≠ 0.

II. (2) ограничена и ее верхний предел L > 0.

а) Фиксируем х: |х| < 1 / L => ε > 0: |х| < 1 / (L + ε). По свойствам верхнего предела все , начиная с некоторого п, удовлетворяют: => начиная с этого n:

=> ряд (1) абсолютно сходится по признаку Коши (3*).

б) Фиксируем х: | х| > 1 / L => ε > 0: |х| > 1 / (L - ε). По опре­делению верхнего предела из послед-сти (2) можно выделить подпослед-сть , (k = 1, 2,...) => начиная с некоторого k: => начиная с этого k:

=> нарушено необходимое условие сходимости (2*) ря­да (1) => (1) расходится.

III. (2) ограничена и ее верхний предел L = 0.

Фиксируем x ≠ 0 (при x = 0 ряд (1) абсолютно сходится). Верхний предел L = 0и послед-сть (2) не может иметь отрицательных предельных то­чек => L = 0 - единственная предельная точка => L - предел (2) => послед-сть (2) бесконечно малая => для 1/(2| х |) > 0 n, начиная с которого

=> ряд (1) абсолютно сходится к признаку Коши (3*).

Т2. Для каждого степенного ряда (1), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке х = 0, R > 0(возможно, = ∞): этот ряд абсолютно сходится при |х| < R и расходится при |х| > R.

R - радиус сходимости степенного ряда, (- R, R) - про­межуток сходимости. Вычисляется:

З1. На концах (- R, R) степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пусть ряд (1) имеет радиус сходимости R > 0.

Л. Каково бы ни было 0 < r < R, ряд (1) равномерно сходится на [- r, +r ], т.е. при |х| < r.

Док-во. По Т2 ряд (1) абсолютно сходится при x = r, т. е. сходится ряд

По признаку Вейерштрасса (4*) ряд (1) сходится равномерно на [- r, +r ].

Сл1. В условиях леммы сумма ряда (1) является функцией, непрерывной на [- r, +r ]. (По (Т(7*)).

Т 3. Сумма степенного ряда внутри его промежут­ка сходимости - непрерывная функция.

Док-во. Пусть S (x) - сумма ряда (1), R - его радиус сходимости. Фиксируем х: |х| < R. Всегда r: |х| < r < R. По Сл1 функция S (x) непрерывна на [- r, +r ] => S (x) непрерывна и в точке х.

Т4. Если R > 0 - радиус сходимости ряда (1), а х удовлетворяет условию | х| < R, то ряд (1) можно почленно интегрировать на [0, х ]. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд.

Док-во. Для х: | х| < R, r: |х| < r < R. По лемме ряд (1) сходится равномерно на [- r, +r ] => и на [0, х ] => по Т(5*) его можно почленно интегрировать на [0, х ] => получится степенной ряд

радиус сходимости которого (по (3)) - ве­личина, обратная верхнему пределу последовательности

Т4 доказана, так как верхний предел послед-сти (4) тот же, что и у (2):

Т5. Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимо­сти, что и исходный ряд.

Док-во. Достаточно (по Т(6*) и лем­мы) доказать лишь второе утверждение теоремы.

В результате почленного дифференцирования (1) получим ряд

радиус сходимости R которого (по (3)) обратен верхнему пределу последовательности

Теорема доказана, так как последовательность (5) имеет тот же верхний предел, что и (2):

Сл2. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколь­ко угодно раз. Ряд, полученный п-кратным почленным дифферен­цированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус схо­димости, что и исходный ряд.

О1. Функция f (х) на (- R, +R)(на { х }) может быть разло­жена в степенной ряд, если степенной ряд, схо­дящийся к f (х) на (- R, +R)(на { х }).

Утв1. Чтобы f (х) могла быть разложена в степенной ряд на (- R, +R), необходимо, чтобы эта функция имела на (- R, +R) непрерывные производные порядка.

Док-во. Степенной ряд внутри его промежутка сходи­мости, который во всяком случае содержит (- R, +R), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же проме­жутка сходимости (Т5) => суммы рядов, полученных сколь угодно кратным диф­ференцированием (по Т3), являются функциями, непрерывными внутри указанного промежутка сходимо­сти => непрерывными на (- R, +R).

Утв2. Если f (х) может быть на (- R, +R) разложена в степенной ряд, то лишь единствен­ным образом.

Док-во. Пусть f (х)может быть разложена на (- R, +R)в степенной ряд (1). Дифференцируя этот ряд почленно п раз:

=> коэффициенты степенного ряда (1), в кото­рый может быть разложена функция f (х), однозначно определя­ются формулой (6). •

Пусть f (х)имеет на (- R, +R)непрерывные производные порядка.

О2. Степенной ряд (1), коэффициенты ко­торого определяются формулой (6), называется рядом Тей­лора функции f (х).

Утв3. Если функция f (х) может быть разложе­на на (- R, +R) в степенной ряд, то этот ряд являет­ся рядом Тейлора функции f (х). (Следует из Утв2)

Утв4. Чтобы функция f (х) могла быть разложена в ряд Тейлора на (- R, +R)(на { х }), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в фор­муле Маклорена для этой функции стремился к 0 на (- R, +R)(на { х }).

Остаточные члены в формуле Маклорена для стремятся к 0 на всей числовой прямой, для - на => из Утв4:

*: У всякой ограниченной послед-сти верхний и нижний пределы.

2*: Для сходимости ряда необходимо, чтобы послед-сть и ₁, и ₂, …, и_k,... членов этого ряда являлась бесконечно малой.

3*: Если для всех номеров k, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо нера­венство , то ряд сходится (расходится).

4 *: Если функц. ряд определен на { х } пр-ва Е^т и если сходящийся числовой ряд такой, что для всех х { х } и для всех k справедливо , то ряд сходится равномерно на { х }.

5*: Если функц. ряд на [ а, b ] и если каждый член ряда является функцией, интегрируемой на [ а, b ], то и сумма S (х) интегрируема на [ а, b ], причем этот ряд можно интегрировать на [ а, b ] почленно, т. е. сходится чис­ловой ряд

6*: Если каждая функция имеет производную на [ а, b ] и если ряд из производных

сходится равномерно на [ а, b ], а сам ряд схо­дится хотя бы в одной точке х ₀ [ а, b ], то на сегменте [ а, b ], причем этот ряд можно дифф-вать на [ а, b ] почленно, т. е. его сумма S (х) имеет производную: .

7*: Если функц. ряд на { x } и у всех членов этого ряда в предел

то и сумма ряда S (х) имеет в предел, и к пределу можно перехо­дить почленно:

Сл1. Если в условиях Т потребовать, чтобы { x } и чтобы все члены ряда (1) были непрерывны в , то и сумма S (х) этого ряда будет непрерывна в .