L - критерий Колмогорова – Смирнова

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: эмпирического с теоретическим, или для сопоставления одного эмпирического с другим эмпирическим.

В отличии от критерия c² –Пирсона, где сопоставляются абсолютные частоты двух распределений, в критерии l - критерий Колмогорова – Смирнова сравниваются накопленные (кумулятивные) частоты по каждому разряду.

При сопоставлении двух эмпирических распределений, необходимо чтобы n_1,2³50. Разряды должны быть упорядочены по убыванию или возрастанию какого-либо признака и обязательно должны отражать какое-то однонаправленное изменение.

Сущность критерия - это нахождение абсолютной величины разности (d) по каждому разряду между накопленными относительными частотами (частостями) первого и второго распределения, и определения из них наибольшей. Таким образом, всякий раз сопоставляются накопленные к данному разряду относительные частоты. В формулу l включается эта разность d_мах. Чем больше эмпирическое значение l, тем существеннее различия.

В случае сопоставления эмпирического распределения с теоретическим, необходимо определить максимальное значение абсолютной величины d. Для этого сначала определяют все возможные значения d, сопоставляя теоретические накопленные частости F_н(x) с эмпирическими накопленными частостями F_э (x).

 

d = F_н (x) - F_э (x)

 

Из всех полученных значений d, находят d_мах, которое и сопоставляют с табличным значением.

Для р£0,05, d_кр= 1,36/Ön

р£0,01 d_кр= 1,63/Ön

 

При сопоставлении двух эмпирических распределений, сначала определяют d_мах, затем по формуле рассчитывают эмпирическое значение критерия:

n₁ – количество наблюдений в первой выборке.

n₂ – количество наблюдений во второй выборке.

 

Эмпирическое значение сопоставляется с критическими значениями:

Для р£0,05, l = 1,36

р£0,01, l = 1,63

 

Примеры решения задач

 

Задача сопоставления эмпирического распределения с теоретическим. Применение критерия χ²- Пирсона.

В исследовании, посвященным изучению гендерных особенностей ценностных ориентаций подростков, проверялась гипотеза о совпадении биологического пола с психологическим. Гендер определялся по методике Бем. В выборку вошли 29 девушек и 28 юношей. Среди девушек: 18 девушек феминны, 8 – андрогены, 3 маскулинны. Среди юношей: 16 юношей маскулинны, 8 – андрогены, 4 – феминны.

Решение.

Решим задачу при помощи критерия c² – критерий Пирсона.

Сопоставим эмпирическое распределение с равномерным. Воспользуемся результатами по выборке девушек.

Гипотезы:

Н₀: распределение гендера в эмпирическом распределении не отличается от равномерного

Н₁: распределение гендера в эмпирическом распределении отличается от равномерного

 

Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

c² = ,

где f_эj – j-е значение эмпирической частоты (наблюдаемой);

f_T – теоретическая частота (расчетная).

 

При сопоставлении эмпирического распределения с равномерным (теоретическим) распределением теоретические частоты рассчитываются по формуле:

Где, n – общее количество наблюдений;

k- количество разрядов признака.

 

Количество разрядов признака – это возможные значения признака. Гендер личности может принимать три значения: маскулинность, андрогинность, фемининность. Таким образом, количество разрядов признака k=3. Объем выборки n=29.

Эмпирическая частота:

Все необходимые данные для вычисления эмпирического значения критерия имеются.

 

Для нахождения критических значений критерия - c_кр, определим число степеней свободы:

n = (k – 1)(c - 1)

Количество сравниваемых распределений с=2; разрядов признака k=3. Число степеней свободы n = (k – 1)(c - 1) = (3-1)(2-1)=2.

Критические значения χ²(0,05)=5,99 и χ²(0,01)=9,21.

Эмпирическое значение χ²(р)=12,06. Сопоставив значения, мы можем заключить, что р_эмп>0,05, следовательно, мы не можем отклонить нулевую гипотезу.

Представим результаты исследования наглядно

 

Pэмп

 

Статистический вывод: принимается альтернативная гипотеза, на уровне статистической значимости р<0,01.

Психологический вывод: распределение гендера в эмпирическом распределении отличается от равномерного. Таким образом, статистически достоверно, что в выборке девушек преобладает феминный гендер.