Нормальное распределение и его свойства

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. во Франции, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции.

где u – высота кривой прямо над всяким заданным значением х на графике распределения частот;

е – основание системы натуральных логарифмов = 2,718..,

а и s - числа, которые определяют положение кривой относительно числовой оси и регулируют ее размах.

График нормального распределения представляет собой так называемую колоколообразную симметричную кривую. Меняя значения а и s, можно сдвигать конкретную нормальную кривую по числовой оси вверх и вниз и менять ее размах.

Величина a соответствует среднему распределения частот большой выборки (математическому ожиданию); s - стандартному отклонению этого распределения. Таким образом, параметр а (математическое ожидание) характеризует положение, а параметр s² (дисперсия) – форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, s²=1, т.е. N(0;1), называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной. Площадь ограниченная такой кривой равна = 1.

Для совмещения любой нормальной кривой с единичной достаточно выполнить простое преобразование исходного распределения путем вычитания среднего значения из каждого индивидуального балла Х _i и деления на s.

, z = 0, s=1.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения близкие к средней величине - достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречается в естественно - научных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признака.

Нормальная кривая всегда будет симметричной относительно а. Площадь между кривой и осью х равна 1.

Свойства нормального теоретического распределения

1) мода, медиана и среднее арифметическое равны или имеют близкие по величине значения;

2) показатели асимметрии и эксцесса равны нулю, As=0 и Еs=0.

3) Выполняется правило трех сигм.

 

Правило трех сигм

Общее для всех этих кривых: в любом нормальном распределении приблизительно:

1. 68% площади под кривой лежит в пределах одной s от среднего в любом направлении (то есть а ±1s);

2. 95% площади под кривой лежит в пределах двух s от среднего в любом направлении (то есть а±2s);

3. 99,7% площади под кривой лежит в пределах трех s от среднего в любом направлении (то есть а ±3s ).

Правило трех сигм на языке теории вероятностей:

P{÷X-mê<s} = F (1) = 0.6837

P{÷X-mê<2s} = F (2) = 0.9545

P{÷X-mê<3s} = F (3) = 0.9973

Вероятность того, что число Х попадает в интервал |X-mê<s равна 0,6837.

 

Правило трех сигм

А) Если в симметричном распределении признака по обе стороны от выборочной средней отложить расстояние равное s, то оно будет включать 2/3 наблюдений (в нормальном распределении 68% наблюдений).

Б) В интервале Х=[Х_ср± 2s] находится 95% наблюдений.

В) В интервале Х=[Х_ср±3s] находится 99% наблюдений (в нормальном распределении 99,73% наблюдений).

 

Рис. 3. График нормированного нормального распределения признака.

 

Если для однородной выборки, полученные по заданной методике результаты подчиняются нормальному закону распределения, то среднее арифметическое Х_ср этих результатов и стандартное отклонение s результатов для выборки определяют границу статистической нормы [Х_ср±s].

 

Рис. 4. График нормального распределения признака

Нормальность распределения результативного признака можно проверить путем расчета показателей асимметрии и эксцесса и сопоставления их с критическими значениями (критерий Н.А. Плохинского или Е.И. Пустыльника). Проверку соответствия эмпирического распределения нормальному, можно осуществить и по критерию χ²-Пирсона.

 

Критерий Н.А. Плохинского

Вычисляются ошибки репрезентативности асимметрии и эксцесса:

;

где n -объем выборки

Если показатели асимметрии и эксцесса превышают в три и более раз по абсолютной величине свою ошибку репрезентативности, то эмпирическое распределение отличается от нормального.

 

Критерий Е.И. Пустыльника

Вычисляются критические значения асимметрии и эксцесса

 

где n -объем выборки

Если эмпирические значения асимметрии и эксцесса больше своих критических значений As>A_кр и Es>Е_кр, то эмпирическое распределение отличается от нормального.