Интерпретация стандартного отклонения для нормального распределения

В том случае, когда набор данных имеет приблизительно нормальное распреде­ление, стандартное отклонение приобретает особый смысл. Приблизительно две трети значений из такого набора данных находятся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, как показано на рис. 5.1.3.

 

 

95%

99,7%

67%7%

 

 

Рис. 5.1.3. В случае нормального распределения значения в наборе данных можно легко разделить в зависимости от выраженного в значениях стандартного отклонения их расстояния от среднего значения. Примерно две трети всех значений находятся не далее одного стандартного отклонения от среднего. Около 95% всех значений находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего. И, наконец, мы можем ожидать, что обнаружим почти все данные (99,7%) на расстоянии не более трех стандартных отклонений от среднего.

 

Так, например, если способности ваших работников распределены приблизительно нормально, то вы можете ожидать, что оценки способностей примерно двух третей из них попадают на расстояния не более одной величины стандартного отклонения от среднего значения — либо выше, либо ниже среднего. Это означает, что приблизительно треть работников имеет способности, лежащие в пределах одной величины стандартного отклонения выше среднего, а примерно треть — в соответствующей области ниже среднего. Остальные работники, которых также приблизительно треть, распределятся таким образом: около половины этой одной трети (шестая часть всех работников) обладает способностями, превышающими средние более чем на величину одного стандартного отклонения, и примерно шестая часть всех работников окажется ниже среднего далее, чем на расстоянии одного стандартного отклонения.

Из рис. 5.1.3 также видно, что в случае нормального распределения следует ожидать, что примерно 95% всех данных окажутся в пределах двух величин стандартного отклонения от среднего значений. Этот факт будет иметь большое значение при рассмотрении статистических выводов, поскольку допустимые погрешности оценок часто ограничиваются величиной 5%.

И, наконец, мы вправе предположить, что почти все данные (99,7%) будут находиться в пределах трех величин стандартного отклонения от среднего значения. При этом только 0,3% всех значений набора данных оказываются от среднего на большем удалении. На рис. 5.1.3 можно видеть, что график нормального распределения на расстояниях порядка трех стандартных отклонений от среднего опускается почти до нуля. В картах контроля, которые широко используют для контроля качества продукции, пределы часто устанавливаются таким образом, чтобы в качестве заслуживающей внимания проблемы выступали именно те результаты наблюдений, которые отстоят от среднего на расстоянии, большем, чем три стандартных отклонения.

Что же происходит в том случае, если набор данных не подчиняется нормальному распределению? В таком случае описанные выше проценты применять нельзя.

К сожалению, поскольку существует множество скошенных (или других отличающихся от нормального) распределений, нельзя указать единое правило определений таких процентов для произвольного распределения. На рис. 5.1.4 приведен пример скошенного (асимметричного) распределения. В этом случае на расстоянии, не превышающем одно стандартное распределение, находится не две трети, три четверти всех данных. Кроме того большинство этих данных расположено слева от среднего (поскольку здесь график распределения проходит выше).

 

 

S

S

 

 

Пример. Контрольные карты для контроля качества изображений.

 

Предприятие выпускает экраны мониторов и использует для контроля и улучшения качества продукции карты контроля качества (или, как еще говорят, контрольные карты). В частности, размер одной точки экрана должен быть настолько мал, чтобы пользователь мог видать мельчайшие детали изображения. Карта контроля содержит результаты отдельных измерений размера точки (которые отличаются для разных мониторов), средние значения (которые, как можно видеть, проходят через центр данных) и контрольные границы (которые устанавливаются выше и ниже среднего значения на расстоянии трех стандартных отклонений). Более детально карты контроля будут рассмотрены позже. На рис. 5.1.5 и 5.1.6 показаны примеры карт контроля качества для набора устройств.

 

 

Карты контроля качества помогают выявить проблему, дальнейшее исследование и исправление ситуации зависит от менеджера.

 

Пример. Размеры прибыли на бирже меняются каждый день.

 

В этом примере мы исследуем непостоянство фондовой биржи (измеренное соответствующим стандартным отклонением) за период времени, предшествовавший обвалу в 1987 году. В табл. 5.1.3 приведены цены на фондовой бирже, зафиксированные в момент закрытия каждого из рабочих дней с 31 июля до 9 октября 1987 года.

 

 

Цены измерены с помощью индекса Доу Джонс (Dow Jones Industrial). Индекс Доу Джонс вычисляется как среднее значение рыночных цен акций 30 специально отобранных крупных промышленных компаний. Обычно инвесторы изучают такие данные в виде графика зависимости индекса цен от времени. Такой график показан на рис. 5.1.7.

Вместо биржевых цен финансовые аналитики и исследователи часто рассматривают дневную прибыль, представляющую собой процентную ставку, которую можно получить при инвестировании в акции за одни сутки. Эта величина вычисляется путем деления изменения индекса за сутки на его величину в предыдущий день. Например, дневная прибыль за 3 августа

(2557,08-2572,07)/2572,07=-0,006

представляет собой потери размером несколько менее 1%. Показатель дневной прибыли отражает динамику происходящих ежедневно изменений на рынке в более явном виде, чем собственно величина среднего значения цен. В табл. 5.1.4 приведена динамика изменения дневной прибыли.

 

На рис. 5.1.8 показана гистограмма дневной прибыли. Она свидетельствует о том, что приведенные значения имеют нормальное распределение. Средняя дневная прибыль за этот период времени составляла - 0,0007, т.е. она была приблизительно равна нулю (среднее снижение составило семь сотых процента). Таким образом, на рынке в это время держался средний курс. Стандартное отклонение составляет 0,0117. Это означает, что $ 1, вложенный в фондовый рынок, в среднем изменялся за сутки на $0,0117, в том смысле, что вложение $ 1 могло привести за сутки к прибыли или потере примерно в $0,0117.

Крайние значения, которые мы видим на рис. 5.1.8 с обеих сторон от центра, демонстрируют максимальный размер роста и падения за один день. Так, 22 сентября на рынке наблюдался подъем с 2492,82 до 2568,05,что составило рост на 75,23 пункта, с дневной прибылью 0,030 (прибыль в размере $0,030 на один доллар, вложенный днем раньше). А 6 октября на рынке произошло понижение с 2640,18 до 2548,63, т.е. на 91,55 пункта. Дневная прибыль при этом составила -0,035 (потери в размере 0,035 доллара на один доллар, вложенный днем раньше).

 

Рис.5.1.8. Гистограмма прибыли. Среднее значение прибыли близко к нулю. Это означает, что кратковременные повышения и понижения были примерно равновероятными. Стандартное отклонение, составляющее 0,0117, отражает величину обычных суточных флуктуаций. В течение этого времени вложенный на фондовом рынке доллар мог измениться за день на величину порядка одного цента.

 

 

Рис. 5.1.8. Гистограмма, построенная с использованием Excel.

Для того чтобы оставаться в пределах одной величины стандартного отклонения (0,0117) от среднего значения (-0,0007), размер дневной прибыли должен находиться в пределах от -0,0007-0,0117=- 0,0124 до -0,0007 + 0,0117 = 0,0110. Из 49приведенных значений дневной прибыли этому требованию отвечают 32. Таким образом, 32/49, или 65,3% значений дневной прибыли удалены от среднего значения на расстояние, не превышающее одного стандартного отклонения. Этот процент достаточно близок к значению 2/3 (или 66,7%) — приблизительной той части от общего количества значений, которую мы могли бы ожидать в случае идеального нормального распределения. Следовательно, можно считать, что "правило двух третей" работает.

Для того чтобы оставаться в пределах расстояния в 2 величины стандартного отклонения от среднего значения, дневная прибыль должна находиться в пределах от - 0,0007 - (2*0,0117) = -0,0241 до - 0,0007 + (2*0,0117) = 0,0227. Из 49 значений дневной прибыли этому требованию отвечают 47 (все, за исключением двух крайних значений, на которые мы уже обратили внимание ранее). Таким образом, 47/49, или 95,9%, величин дневной прибыли расположены по отношению к среднему значению на расстоянии, не превышающем удвоенного стандартного отклонения. Полученное значение достаточно близко к значению 95%, которое мы могли бы ожидать в случае идеального нормального распределения.

Этот пример достаточно хорошо соответствует правилам для нормального распределения. В других примерах распределений, также близких к нормальному, не удивительным будет наличие больших расхождений со значениями 2/3, или 95%, которые мы ожидаем получить для идеального нормального распределения.

 

Пример. Обвал на фондовой бирже в 1987году: 19 стандартных отклонений!

 

В понедельник 19 октября 1987 года индекс цен Доу Джонса упал на 508 пунктов, с 2246,74 (в предыдущую пятницу) до 1738,74. Это соответствует дневному доходу -0,2261; таким образом, фондовый рынок потерял 22,61% своей стоимости. Это неожиданное падение стоимости, показанное на рис. 5.1.9, было самым большим со времени "Большого кризиса" 1929 года.

 

 

Для того чтобы представить себе, насколько экстремальной с точки зрения статистики оказалась ситуация при этом обвале, сравним ее с тем, что следовало бы ожидать в соответствии с предшествовавшим поведением рынка. В качестве базового периода воспользуемся предыдущим примером, в котором рассмотрен промежуток времени с 31 июля по 9 октября, до пятницы за неделю до обвала.

Для базового периода мы определили, что среднее значение дневной прибыли составляет -0,0007, а стандартное отклонение равно 0,0117. Сколько величин стандартного отклонения необходимо отложить вниз от среднего значения, чтобы получить потери, понесенные 19 октября? Ответ на этот вопрос таков:

(-0,2261-(-0,0007))/0,0117=-19,26 !!!!!!!!!!

величин стандартного отклонения (ниже среднего значения).

Отсюда видно, насколько необычным был этот обвал. Если бы дневной доход на бирже действительно имел нормальное распределение (и распределение не было бы подвержено быстрым изменениям), такого экстремального результата не могло бы возникнуть никогда. В таком случае достаточно часто (примерно в одной трети случаев) можно было бы ожидать дневную прибыль, отличную от среднего значения более чем на одно стандартное отклонение. Разница в два или более стандартных отклонений наблюдалось бы время от времени (примерно в 5% случаев). Отличие, составляющее утроенное стандартное отклонение и более, могло бы наблюдаться только очень редко — примерно в 0,3% случаев, или, для большей наглядности, можно сказать, что это происходило бы порядка одного раза в год. Даже отличие, составляющее пять стандартных отклонений; было бы уже весьма не характерным для идеального нормального распределения. Разница в 19,26 стандартных отклонений представляется в таком случае просто практически невероятной.

Однако, несмотря на это, мы уже увидели дневную прибыль, отличную от среднего значения на 19,26 величин стандартного отклонения. Это показывает, что размер дневной прибыли на фондовой бирже не подчиняется идеальному нормальному распределению. Это не означает, что теория в чем-то неверна; это указывает лишь на то, что теория в данном случае неприменима. Несмотря на то; что нормальное распределение описывает дневную прибыль для большей части времени работы фондовой биржи, обвал 1987 года напоминает нам о необходимости проверки правильности всех используемых предположений для защиты своих интересов в особых случаях.

 

Пример. Неустойчивость фондового рынка до обвала и после него.

 

В период, последовавший за обвалом 19 октября 1987 года, состояние рынка характеризовалось высокой неустойчивостью. Степень неустойчивости можно оценить, воспользовавшись, как и в предыдущем примере, стандартным отклонением дневной прибыли. Ниже приведена таблица значений стандартного отклонения.

 

Стандартное отклонение, %	Промежуток времени
1,17 8,36 2,09	С 1 августа по 9 октября С 12 октября по 26 октября С 27 октября по 31 декабря 1987 г.

 

В период времени, непосредственно примыкающий к обвалу (одна неделя до него и одна неделя после) стандартное отклонение было приблизительно в семь раз выше, чем до этого периода. После обвала стандартное отклонение уменьшилось, однако осталось примерно в два раза выше, чем до него (2,09% по сравнению с 1,17%). Рынок после обвала, безусловно, в значительной мере вернулся к деловой активности. Однако он остался "неспокойным", о чем свидетельствует высокая неустойчивость, которая измеряется стандартным отклонением.

Повышение неустойчивости отображено на рис. 5.1.10.

 

 

Если абстрагироваться от сильных колебаний рынка накануне и сразу после октября, можно увидеть, что размах по вертикали колебаний графика справа от этой даты примерно в два раза выше, чем слева от нее. Эти оценки неустойчивости отражены и в приведенной выше таблице стандартных отклонений, примерно соответствующих показанным на графике расстояниям по вертикали.

В последнее время неустойчивость фондового рынка значительно снизилась. Ниже приведена таблица стандартных отклонений дневной прибыли для каждого года с 1990 по 1998, рассчитанная для фондового индекса S&P 500.

 

Год	Стандартное отклонение
	1,00 0,89 0,60 0,53 0,61 0,48 0,73 1,12 1,26

 

Обратите внимание, что типичное изменение цен в 1995 году составляло примерно половину процента (от стоимости всего портфеля) в день, однако затем неустойчивость рынка стала расти.

 

Пример. Диверсификация на фондовом рынке

 

Покупая акции, вы всегда рискуете, поскольку с течением времени курс акций может либо вырасти, либо снизиться. Владение акциями сразу нескольких различных компаний называется диверсификацией. Диверсификация снижает риск, поскольку владелец портфеля акций нескольких кампаний в меньшей степени подвержен влиянию возможных резких изменений курса акций конкретной компании. Рассмотрим величины риска для трех случаев: (1) владение только акциями Boeing, (2) владение только акциями Johnson & Johnson и (3) владение портфелем из названных акций в равных долях. Стандартное отклонение дневной ставки прибыли для каждого из этих случаев (за 1994 год и три первых квартала 1995 года) приведено в следующей таблице

Портфель	Стандартное отклонение
Boeing Johnson & Johnson Обе компании	1,46 1,39 0,99

 

Обратите внимание на снижение риска в случае владения акциями более чем одной компании (риск снижается примерно с 1,4% в день до величины порядка 1% в день).