Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности статистических данных

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

– основная гипотеза;

– альтернативная гипотеза;

– элемент выборки ;

– элемент выборки ;

- ранги элементов выборки;

– cредний ранг;

μ – математическое ожидание;

– дисперсия;

α – уровень значимости;

N(0,1) – нормальное стандартное распределение;

– эмпирическая функция распределения;

– теоретическая функция распределения.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена изучению непараметрических критериев однородности статистических данных, которые позволяют проверять различные статистические гипотезы, не зная законов распределения случайных величин. Непараметрический критерий особенно пригоден, когда объем выборки небольшой (настолько, что невозможно было бы оценить закон распределения данных) и данные выражаются в категориальной шкале [5].

Курсовая работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена теоретическим основам. В ней рассмотрены существующие непараметрические критерии однородности в статистических данных, их математические модели и применение.

Во второй главе, используя данные, полученные из теории, показана реализация непараметрических критериев в статистическом пакете R.

Третья глава посвящена исследованиям реализованных критериев. Было проведено исследование распределения статистик рассматриваемых гипотез при "малых" и "больших" выборках. Исследовано распределение статистик по критериям согласия Колмогорова и Смирнова. Была построена эмпирическая функция мощности критериев. Также были собраны реальные данные и проведен анализ данных изученными методами.

Реализация критериев и исследования были выполнены при помощи статистического пакета R.

Непараметрические критерии сдвига

Сравнение параметров сдвига двух совокупностей

Быстрый (грубый) критерий Кенуя

Пусть . Через обозначим такое значение случайной величины, которое превышается значениями из выборки.

Вычисляется среднее значение

со стандартным отклонением

, где .

Для очень несимметричных распределений используются оценки

; .

Проверка разности в параметрах положения проверяется критерием

,

(индексы относятся к номерам проверяемых выборок).

При объемах проверяемых выборок свыше 20 статистика критерия распределена нормально. Поэтому нулевая гипотеза отсутствия сдвига не отклоняется при доверительной вероятности α, если .

Критерий устойчив к отклонениям от нормальности, имеет эффективность по сравнению с параметрическим критерием Стьюдента не хуже ≈93%.

Ранговые критерии основываются на последовательности рангов выборочных значений случайных величин. При этом рассматриваются не сами выборочные значения, а их ранги, определяемые порядковым номером элемента выборки в общем ряду, упорядоченном по возрастанию. Например, в упорядоченной выборке выборочное значение заменяется рангом .

Быстрый (грубый) ранговый критерий

Рассматриваются две выборки объемов и при (). Их элементы ранжируются по возрастанию совместно. Одинаковым наблюдениям присваивается одинаковый усредненный ранг. Для каждой группы находятся суммы рангов и и средние ранги и .

Вычисляем . Статистика -критерия может быть аппроксимирована нормальным распределением со средним и дисперсией

.

Поэтому при гипотеза сдвига отклоняется с доверительной вероятностью α.

Эффективность критерия для нормально распределенных выборок 0,95 (для любого другого исходного распределения — не хуже 0,86).

Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга

Критерий основан на статистике - математическое ожидание -ой порядковой статистики в выборке объема из стандартного нормального распределения; - ранг значений в объединенной ранжированной выборке и (или ранг в объединенной выборке, тогда суммирование нужно вести по

Для может быть использована аппроксимация

, где

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения

статистики Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга [1].

Критерий Ван дер Вардена

Статистика критерия имеет вид

где – γ - квантиль стандартного нормального распределения.

Для вычисления квантилей может быть применено приближение

.

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения статистики Ван дер Вардена.

При распределение X удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если , гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α.

При эффективность критерия Ван дер Вардена не уступает эффективности критерия Стьюдента [1].

Медианный критерий

Статистика критерия строится следующим образом. Находится медиана общего упорядоченного ряда и подсчитывается число наблюдений выборки , превосходящих медиану (если нечетно и медиана принадлежит выборке , то это число увеличивается на 1/2). Тогда статистика критерия может быть записана как

, где

При распределение удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если

то с достоверностью гипотеза сдвига отклоняется.

Иногда применяется другая форма медианного критерия. Пусть А и С — количества элементов выборки соответственно бо́льших и меньших медианы объединенной выборки, а В и D — аналогичные числа для выборки . Тогда статистикой критерия сдвига является величина

имеющая, при отсутствии сдвига, распределение хи-квадрат с степенью свободы.

Критерий неприменим, если А, В, С или D < 5 и . Эффективность медианного критерия по сравнению с критерием Стьюдента в случае нормального распределения равна 2/π ≈ 0,64 [1].

Критерий Мостеллера

Гипотеза равенства средних двух выборок одинакового объема отклоняется с доверительной вероятностью 0,95, если 5 (при 25) или 6 (при ) наибольших или наименьших значений содержатся в одной и той же выборке. Критерий имеет низкую мощность и может быть рекомендован только для быстрой грубой проверки гипотез сдвига [1].

Критерий Розенбаума

Применим для двух выборок равного объема. Если не менее 5 (для и α=0,95) или 7 (для и α = 0,99) значений одной выборки находятся вне размаха второй выборки, то нулевая гипотеза отсутствия сдвига на указанных уровнях достоверности отклоняется.

Критерий рекомендуется использовать для быстрой приближенной проверки гипотезы сдвига [1].

1.1.2 Сравнение параметров сдвига нескольких ( ) совокупностей

Критерий Круcкала—Уоллиса

Пусть в нашем распоряжении имеются выборок случайных величин

Упорядочим все элементов выборок по возрастанию и обозначим через ранг -ого элемента -й выборки в общем упорядоченном ряду.

Статистика критерия Крускала-Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения нескольких сравниваемых выборок имеет вид [1]

где . (1.17)

Критерий Крускала-Уоллиса является многомерным обобщением двухвыборочного критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости α, если , где - критическое значение критерия Крускала-Уоллиса для . При применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Крускала-Уоллиса.

Пусть [1]

(1.18)

(1.19)

Тогда статистика [1]

(1.20)

будет иметь при отсутствии сдвига -распределение с и степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если [1]

(). (1.21)

Аппроксимация Имана-Давенпорта.

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α, если [1]

(1.22)

где

(1.23)

- соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Крускала-Уоллиса. При наличии связанных рангов (т. е. когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваивается одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику [1]

, (1.24)

где

(1.25)

– размер группы одинаковых элементов; q – количество одинаковых элементов.

При 20 справедлива аппроксимация распределения статистики -распределением с степенями свободы, т. е. нулевая гипотеза отклоняется, если .

Критерий Неменьи

Критерий применим для выборок равного объема (т. е ). Статистика критерия, предложенного Неменьи, в обозначениях, принятых для критерия Крускала-Уоллиса имеет вид

Гипотеза сдвига считается принятой, если , где – критические значения критерия Неменьи [1].

Критерий Вилкоксона—Вилкокс

Критерий подобен критерию Неменьи. Пусть имеются выборок равного объема и – -й элемент -й выборки (). Обозначим через ранг -го наблюдения -й выборки в упорядоченном по возрастанию ряду

-х элементов выборок и через сумму рангов -й выборки.

Статистикой критерия является разность

где (α) - критические значения критерия Вилкоксона-Вилкокс.

При (α) с доверительной вероятностью α гипотеза сдвига принимается.

Так же, как и критерий Неменьи, настоящий критерий позволяет выявить выборки, приводящие к отклонению нулевой гипотезы [1].

1.1.2.4. „Быстрый” критерий Кенуя

Среди выборок равного объема находятся наибольшее среди наименьших значений и наименьшее среди наибольших значений в выборках. Подсчитываются количества наблюдений, для которых и для которых . Статистикой критерия Кенуя является сумма . – критические значения критерия Кенуя [1].

Критерий Ван дер Вардена

Статистика Ван дер Вардена для выборок имеет вид

.

При справедливости нулевой гипотезы статистика распределена как степенями свободы. Поэтому нулевая гипотеза отсутствия сдвига отклоняется, если , где - доверительная вероятность [1].

Медианный критерий

Для множественного аналога двухвыборочного медианного критерия используется статистика

имеющая при (>10) распределение хи-квадрат c степенями свободы. Здесь – число наблюдений -й выборки, превосходящих медиану объединенной выборки () [1].

Критерий Хеттманспергера

Используется для проверки равенства параметров положения против альтернатив упорядоченности где хотя бы одно из неравенств — строгое. Статистика критерия

Нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если

где – α-квантиль стандартного нормального распределения,

при .

Как и в критерии Крускала-Уоллиса, приняты обозначения

и - ранг -ого элемента -й выборки в общем упорядоченном ряду [1].

Критерий Ансари—Бредли

Является масштабным аналогом критерия Вилкоксона. Сравниваются две выборки и объемами и соответственно. Пусть - ранги элементов одной из выборок (предположим, ) в общем упорядоченном по возрастанию ряду. Статистикой критерия Ансари—Бредли является [1]

(1.26)

Вычисление статистики критерия может быть выполнено и другим, более простым методом. Поставим элементам упорядоченной по возрастанию выборки объема в соответствие ранги по следующему правилу

Тогда статистика критерия равна

т. е. она определяется суммой специальным образом назначенных рангов одной выборки.

Легко видеть, что при четном () последовательность таких рангов имеет вид

а при нечетном () —

Гипотеза равенства параметров масштаба не отклоняется с достоверностью α, если [1]

, (1.27)

где - критические значения статистики Ансари-Бредли.

При можно использовать асимптотическую нормальность распределения величины [1]

(1.28)

где

(1.29)

(1.30)

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в двух выборках принимается с достоверностью α, если [1]

(1.31)

Эффективность критерия по сравнению с F-критерием в случае нормального распределения равна

Критерий Муда

Рассмотрен в качестве альтернативы критерию, основанному на F-статистике Фишера, когда вместо наблюдений используются их ранги. Статистика критерия имеет вид [1]

(1.32)

где - ранги элементов выборки в общем упорядоченном ряду значений и ().

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в обеих выборках принимается, если [1]

, (1.33)

где и - критические значения статистики Муда.

При справедлива нормальная аппроксимация [1]

(1.34)

где

(1.35)

(1.36)

Нулевая гипотеза принимается, если [1]

(1.37)

Эффективность критерия Муда по отношению к F-критерию в случае исходного нормального распределения равна 0,76.

Необходимо отметить, что критерий Муда (как и все ранее рассмотренные критерии) предполагает равенство средних (параметров положения).

Критерий Сижела-Тьюки

Сижел и Тьюки предложили преобразование критериев сдвига в критерии масштаба. Суть их способа сводится к преобразованию первичной упорядоченной объединенной выборки. Пусть — первичная объединенная выборка. Из нее получаем новую последовательность вида

(т. е. оставшийся ряд „переворачивается" каждый раз после приписывания рангов паре крайних значений).

Далее проверка гипотезы о разности параметров масштаба в двух выборках аналогична проверке гипотезы сдвига в новой последовательности с описанным правилом нумерации рангов.

Если использовать в качестве критерия проверки нулевой гипотезы сумму рангов элементов выборки меньшего объема в такой последовательности, то нулевая гипотеза принимается, если , где и - критические значения которые могут быть получены с помощью критических значений критерия Манна-Уитни. Для этого необходимо найти и из таблицы критических значений критерия Манна-Уитни для заданных α, и затем вычислить

Здесь - объем меньшей выборки.

При справедлива аппроксимация

Если , нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается с достоверностью α [1].

Критерий Кейпена

Является масштабным аналогом критерия Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга. Если - ранг -го элемента меньшей по объему выборки в общем упорядоченном ряду () значений объединенной выборки, то статистика критерия может быть записана в виде

где - математическое ожидание квадрата -й порядковой статистики в выборке объема () из стандартного нормального распределения.

Нулевая гипотеза отклоняется, если

где и - критические значения статистики Кейпена.

При справедливо приближение

где

При нулевая гипотеза принимается с достоверностью α.

Квартальный критерий

Критерий является интуитивным аналогом медианного критерия сдвига. Статистика критерия имеет вид

где

Название критерия исходит из того, что S приблизительно равно числу наблюдений из первой выборки, лежащих за пределами первой и третьей квартилей объединенной выборки. Точнее, S получается, если подсчитать количество наблюдений , для которых или , и, если делится на 4, прибавить 1/2 в случае, когда или для некоторого , или прибавить 1 в случае, когда оба последних равенства имеют место для некоторых двух различных индексов .

При статистика S имеет приближенно нормальное распределение со средним и дисперсией , где

Поэтому нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается, если

где α – доверительная вероятность.

Эффективность критерия по сравнению с F-критерием в случае нормального распределения невелика и равна ≈ 0,37, поэтому им рекомендуется пользоваться при > 50 [1].

 

Реализация критерия Муда

В статистическом пакете R сформируем две выборки по стандартному нормальному закону распределения с объемами выборок и . Упорядочим по возрастанию объединенную выборку. По формуле (1.32) вычислим статистику критерия. Найдем по таблице критических значений статистики Муда при заданных объемах выборок и уровне достоверности и Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в выборках принимается, если выполняется условие (1.33).

Увеличим объем выборок. При воспользуемся нормальной аппроксимацией, статистика которой вычисляется по формуле (1.34) с использованием формул (1.35) и (1.36). При выполнении условия (1.37), принимается нулевая гипотеза, которая утверждает, что параметры масштаба двух совокупностей равны.

Для данных выборок по критерию Муда принимается гипотеза

ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Исследование распределения статистик рассматриваемых гипотез при "малых" и "больших" выборках

Рассмотрим критерий Манна-Уитни-Вилкосона. При выполнении гипотезы статистика Вилкоксона W имеет стандартное нормальное распределение , функция распределения которого имеет вид [7]

(3.1)

Методом Монте-Карло смоделируем выборку, состоящую из статистик Вилкоксона при выполнении гипотезы . По полученной выборке построим графики эмпирической и теоретической функций.

Рисунок 3.1 – График теоретической и эмпирической функций

распределения статистики Вилкоксона критерия

Манна-Уитни-Вилкоксона при объеме смоделированных значений

статистик mm=100 и объеме выборок m=25 и n=30, моделируемых

по стандартному нормальному закону распределения (α=0,05)

Рисунок 3.2 – График теоретической и эмпирической функций

распределения статистики Вилкоксона критерия

Манна-Уитни-Вилкоксона при объеме смоделированных значений

статистик mm=1000 и объеме выборок m=25 и n=30, моделируемых

по стандартному нормальному закону распределения (α=0,05)

Из рисунков 3.1 и 3.2 видим, что при увеличении объема выборки эмпирическая функция распределения статистики стремится к ее теоретической функции распределения.

Реальные данные

1. Имеются две выборки случайных величин:

Необходимо проверить гипотезу сдвига критериями группы Манна-Уитни-Вилкоксона при доверительной вероятности α=0,95.

При реализации данного критерия c заданными выборками в статистическом пакете R получаем, что по статистике Манна-Уитни гипотеза сдвига отклоняется.

Ограничим исходную выборку восьмью значениями.

Применив критерий Манна-Уитни-Вилкоксона для полученной выборки получаем, что по статистике Манна-Уитни и по ранговой статистике Вилкоксона гипотеза сдвига отклоняется.

2. Перед началом игры двум группам детей дошкольного возраста показали два мультипликационных фильма. Одна группа (условие А) просмотрела фильм, содержание которого было с ярко выраженными агрессивными элементами; второй группе (условие В) был показан фильм без каких-либо агрессивных элементов. После просмотра фильмов каждый ребенок некоторое время играл отдельно от своих товарищей, причем опытные наблюдатели зарегистрировали количество поступков агрессивного характера, совершенных ребенком по отношению к его игрушкам в течение этого периода. Отметкой для каждого ребенка в данном случае является общее число совершенных им подобных поступков, которые, однако, различаются по характеру и по силе. Поэтому исследователи сочли более правильным рассматривать эти отметки только как относительную меру агрессивности (порядковая шкала). Полученные результаты были следующими [4]:

Условие А: 26,22,19,21,14,18,29,17,11,34;

Условие В: 16,10,8,13,19,11,7,13,9,21;

не существует различия между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

существует различие между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

Проверить какая гипотеза выполняется с помощью критерия Манна-Уитни-Вилкоксона.

Воспользовавшись реализацией данного критерия в статистическом пакете R, получили следующие результаты: по статистике Манна-Уитни и по ранговой статистике Вилкоксона принимается гипотеза .

3. Чтобы установить, отличаются ли механизмы фатальной соевой астмы от механизмов обычной фатальной астмы, число CD3+ Т-клеток в подслизистой основе, показателе иммунной системы организма, сравнили с числом клеток в 7 случаях фатальной соевой астмы и в 10 случаях фатальной астмы. Из-за маленьких размеров выборки и явно скошенных (асимметричных) данных используем двухвыборочный критерий Манна-Уитни-Вилкоксона [5].

Соевая астма: 0,00; 0,00; 0,00; 1,36; 1,43; 4,01; 34,45.

Фатальная астма: 3,76; 4,32; 13,75; 37,50; 58,33; 73,63; 74,17; 99,99; 154,86; 1225,51.

Рассматриваются гипотезы:

распределения количества CD3+ Т-клеток в двух популяциях одинаковы.

распределения количества CD3+ Т-клеток в двух популяциях неодинаковы.

Используем критерий Манна-Уитни-Вилкоксона для данных выборок и получаем, что механизмы фатальной соевой астмы отличаются от механизмов обычной фатальной астмы (принимается гипотеза ).

4. В результате наблюдений получены пять выборок случайных величин (k = 5)

Необходимо проверить гипотезу об отсутствии сдвига между параметрами положения в выборках критерием Крускала-Уоллиса на уровне значимости α=0,05 [1].

Используя реализацию данного критерия в статистическом пакете R получаем следующий результат: по аппроксимации Крускала-Уоллиса и по аппроксимации Имана-Давенпорта гипотеза сдвига принимается.

5. Имеются две выборки случайных величин:

Проверить гипотезу равенства параметров масштаба в выборках критерием Ансари-Бредли при достоверности α=0,95 [1].

При проверке получаем, что гипотеза равенства параметров масштаба принимается.

6. Даны две выборки случайных величин:

Поверить гипотезу равенства параметров масштаба критерием Муда при достоверности α=0,95 [1].

Применив критерий Муда к данным выборкам, получаем, что гипотеза равенства параметров масштаба принимается.