Критерий Фишера-Терри-Йэйтса-Гёфдинга

Вариант критерия Фишера-Терри-Йэйтса-Гёфдинга для выборок основан на статистике

где - ранг элементов -й выборки в общем ряду ().

При распределение статистики может быть аппроксимировано -распределением с степенями свободы. Поэтому нулевая гипотеза отсутствия сдвига отклоняется с достоверностью , если

Критерий Ван дер Вардена

Статистика Ван дер Вардена для выборок имеет вид

.

При справедливости нулевой гипотезы статистика распределена как степенями свободы. Поэтому нулевая гипотеза отсутствия сдвига отклоняется, если , где - доверительная вероятность [1].

Медианный критерий

Для множественного аналога двухвыборочного медианного критерия используется статистика

имеющая при (>10) распределение хи-квадрат c степенями свободы. Здесь – число наблюдений -й выборки, превосходящих медиану объединенной выборки () [1].

Критерий Хеттманспергера

Используется для проверки равенства параметров положения против альтернатив упорядоченности где хотя бы одно из неравенств — строгое. Статистика критерия

Нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если

где – α-квантиль стандартного нормального распределения,

при .

Как и в критерии Крускала-Уоллиса, приняты обозначения

и - ранг -ого элемента -й выборки в общем упорядоченном ряду [1].

Непараметрические критерии масштаба

Непараметрические ранговые критерии сравнения параметров масштаба строятся на базе соответствующих критериев сдвига изменением либо статистики критерия, либо правил присвоения рангов наблюдениям. Критерии масштаба преследуют цель выявить возможные различия в мерах разброса (изменчивости) наблюдений в двух или более выборках.

Сравнение параметров масштаба двух совокупностей

Критерий Ансари—Бредли

Является масштабным аналогом критерия Вилкоксона. Сравниваются две выборки и объемами и соответственно. Пусть - ранги элементов одной из выборок (предположим, ) в общем упорядоченном по возрастанию ряду. Статистикой критерия Ансари—Бредли является [1]

(1.26)

Вычисление статистики критерия может быть выполнено и другим, более простым методом. Поставим элементам упорядоченной по возрастанию выборки объема в соответствие ранги по следующему правилу

Тогда статистика критерия равна

т. е. она определяется суммой специальным образом назначенных рангов одной выборки.

Легко видеть, что при четном () последовательность таких рангов имеет вид

а при нечетном () —

Гипотеза равенства параметров масштаба не отклоняется с достоверностью α, если [1]

, (1.27)

где - критические значения статистики Ансари-Бредли.

При можно использовать асимптотическую нормальность распределения величины [1]

(1.28)

где

(1.29)

(1.30)

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в двух выборках принимается с достоверностью α, если [1]

(1.31)

Эффективность критерия по сравнению с F-критерием в случае нормального распределения равна

Критерий Муда

Рассмотрен в качестве альтернативы критерию, основанному на F-статистике Фишера, когда вместо наблюдений используются их ранги. Статистика критерия имеет вид [1]

(1.32)

где - ранги элементов выборки в общем упорядоченном ряду значений и ().

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в обеих выборках принимается, если [1]

, (1.33)

где и - критические значения статистики Муда.

При справедлива нормальная аппроксимация [1]

(1.34)

где

(1.35)

(1.36)

Нулевая гипотеза принимается, если [1]

(1.37)

Эффективность критерия Муда по отношению к F-критерию в случае исходного нормального распределения равна 0,76.

Необходимо отметить, что критерий Муда (как и все ранее рассмотренные критерии) предполагает равенство средних (параметров положения).

Критерий Сижела-Тьюки

Сижел и Тьюки предложили преобразование критериев сдвига в критерии масштаба. Суть их способа сводится к преобразованию первичной упорядоченной объединенной выборки. Пусть — первичная объединенная выборка. Из нее получаем новую последовательность вида

(т. е. оставшийся ряд „переворачивается" каждый раз после приписывания рангов паре крайних значений).

Далее проверка гипотезы о разности параметров масштаба в двух выборках аналогична проверке гипотезы сдвига в новой последовательности с описанным правилом нумерации рангов.

Если использовать в качестве критерия проверки нулевой гипотезы сумму рангов элементов выборки меньшего объема в такой последовательности, то нулевая гипотеза принимается, если , где и - критические значения которые могут быть получены с помощью критических значений критерия Манна-Уитни. Для этого необходимо найти и из таблицы критических значений критерия Манна-Уитни для заданных α, и затем вычислить

Здесь - объем меньшей выборки.

При справедлива аппроксимация

Если , нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается с достоверностью α [1].

Критерий Кейпена

Является масштабным аналогом критерия Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга. Если - ранг -го элемента меньшей по объему выборки в общем упорядоченном ряду () значений объединенной выборки, то статистика критерия может быть записана в виде

где - математическое ожидание квадрата -й порядковой статистики в выборке объема () из стандартного нормального распределения.

Нулевая гипотеза отклоняется, если

где и - критические значения статистики Кейпена.

При справедливо приближение

где

При нулевая гипотеза принимается с достоверностью α.

Квартальный критерий

Критерий является интуитивным аналогом медианного критерия сдвига. Статистика критерия имеет вид

где

Название критерия исходит из того, что S приблизительно равно числу наблюдений из первой выборки, лежащих за пределами первой и третьей квартилей объединенной выборки. Точнее, S получается, если подсчитать количество наблюдений , для которых или , и, если делится на 4, прибавить 1/2 в случае, когда или для некоторого , или прибавить 1 в случае, когда оба последних равенства имеют место для некоторых двух различных индексов .

При статистика S имеет приближенно нормальное распределение со средним и дисперсией , где

Поэтому нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается, если

где α – доверительная вероятность.

Эффективность критерия по сравнению с F-критерием в случае нормального распределения невелика и равна ≈ 0,37, поэтому им рекомендуется пользоваться при > 50 [1].