Критериальный язык описания выбора

Принятие решений (ВЫБОР)

 

Будем представлять принятие решения как действие над множест­вом альтернатив, в результате которого получается подмножество выб­ранных альтернатив (обычно это одна альтернатива, что не обязательно, а иногда и невозможно).

Последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности ), иметь вероятностный характер, когда известны веро­ятности возможных исходов после сделанного выбора (выбор в усло­виях риска ), или иметь неоднозначный исход, не допускающий введения вероятностей (выбор в условиях неопределенности)

Три основных языка описания выбора:

· критериальный язык,

· язык бинарных отношений,

· язык функций выбора.

КРИТЕРИАЛЬНЫЙ ЯЗЫК ОПИСАНИЯ ВЫБОРА

 

Пусть — некоторая альтернатива из мно­жества X. Считается, что для всех может быть задана функция , которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива предпочтительнее альтернативы (будем обозначать это ), и обратно.

Если теперь сделать еще одно важное пред­положение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным послед­ствиям (т.е. считать, что выбор осуществляет­ся в условиях определенности) и заданный критерий численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой является, естественно, та, которая обладает наибольшим (или наименьшим) значением критерия:

 

. (1)

 

Задачи (1), связанные с нахождением минимума или максимума критерия , называются экстремальными или оптимизационными задачами.

 

Оптимизация (выбор) в экономическом анализе

 

а)Простейшая модель фирмы

 

– затраты - производственного ресурса, ,в течение некоторого периода времени, .

– производственная функция, связывающая объем производимого продукта с объемами используемых ресурсов;

 

– цена продукта,

 

– заданные цены ресурсов.

 

Предполагается, что ресурсы доступны, а продукт может быть продан в любом количестве.

 

Рациональное экономическое поведение – выбор объемов ресурсов и выпуска продукции на основе максимизации прибыли

(2)

 

- выручка от реализации продукции;

- затраты, связанные с производством продукта.

 

Задача: нахождение таких неотрицательных величин используемых объемов ресурсов , при которых

 

(2а)

 

 

Задача безусловной оптимизации (задача без ограничений)

 

(6)

 

 

Задача условной оптимизации (задача с ограничениями или задача математического

Программирования)

(7)

 

 

Задача безусловной оптимизации

Постановка и схема решения задачи

Данные: ;

Модель: ;

- управляющие переменные;

 

Задача безусловной оптимизации имеет вид:

(6)

 

Предполагается, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на , т.е. в точке имеет градиент

и матрицу Гессе

.

Схема решения задачи оптимизации может выглядеть следующим образом:

1. Находятся все точки локальных минимумов;

2. Вычисляются значения функции во всех найденных точках и выбирается точка с наименьшим значением функции. Это и есть решение задачи.

 

Необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума

 

Теорема 1 Необходимое условие наличия локального экстремума

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция в точке . Если - точка локального минимума (максимума) функции , то

(7)

 

Точка , удовлетворяющая условию (7), называется стационарной точкой функции или задачи (1).

 

Для выявления искомой точки на множестве стационарных используется условие локальной оптимальности второго порядка

Теорема 2

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если - точка локального минимума функции , то матрица Гессе неотрицательно определена, т.е.

 

, (8)

 

где

 

Теорема 3 Достаточное условие локальной оптимальности

 

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если удовлетворяет условию (2), а матрица Гессе положительно определена, т.е.

 

, (9)

то - точка строгого локального минимума функции

 

 

Введение

 

В зависимости от ситуации под запасами могут подразумеваться: готовая продукция, сырье, полуфабрикаты, станки, инструмент, транспортные средства, наличные деньги и др.

 

При управлении запасами принимаются решения:

 

· когда закупать необходимые ресурсы (пополнять запас);

· какое количество продукции заказывать? (каков должен быть размер заказываемой партии).

 

Затраты при организации запасов товаров:

· затраты, связанные с выполнением заказа – расходы по оформлению заказа, транспортные расходы, затраты на обработку заказов и ведение учета поставок и др.;

· затраты, связанные с хранением товаров;

· потери от дефицита;

· затраты на приобретение товаров

 

Суммарные затраты =

 

Факторы, учитываемые при построении модели: спрос на данный товар; запаздывание поставки заказа или срок выполнения заказа; как происходит пополнение запаса; горизонт планирования; номенклатура запасаемых товаров.

 

 

Градиентные методы поиска

Методы используют информацию о градиенте це­левой функции и относятся к методам первого порядка.

(3)

дифференцируема на

 

(4)

(5)

Поскольку , то

(6)

(7)

 

Из свойства скалярного произведения

 

. (8)

- (9)

 

градиентные методы

,

(10)

Методы спуска

 

1. Простейший градиентный метод ;

2. Метод наискорейшего спуска

(11)

Из (11) следует:

 

3. Градиентный метод с дроблением шага

3.1. часто ;

 

3.2. к следующей итерации

 

 

 

Вычислительная процедура

 

1. ,

 

2. ,

 

3. ,

 

4.

 

5. Проверка условий останова: если выполняются ;

иначе к п. 2

 

Особенности методов:

· относятся к локальным методам оптимизации;

· используются для решения как одномерных, так и многомерных экстремальных задач;

· выпуклая ЦФ – метод сходится к точке минимума;

сильно выпуклая ЦФ - метод сходится к точке минимума с линейной скоростью;

невыпуклая ЦФ - метод сходится ко множеству стационарных точек

· градиентные методы относятся к методам спуска ;

· низкая скорость сходимости в окрестности точки минимума; метод чувствителен к ошибкам вычислений; градиентные методы целесообразно применять на начальном этапе оптимизационной процедуры.

 

 

Метод Ньютона

(1)

 

Процедура поиска

(2)

 

 

Из (1) имеем

, (3)

(3) в (2)

 

 

(4)

- оптимизационный метод Ньютона

 

Особенности метода Ньютона

 

1. Трудоемкость, обусловленная вычислением и обращением матрицы Гессе на каждой итерации;

2. Выбор ;

3. Метод Ньютона сходится к точке минимума произвольной ЦФ с квадратичной скоростью, если матрица Гессе положительно определена, а располагается «достаточно близко» к .

 

Метод Ньютона с регулировкой шага:

 

(5)

 

,

Скорость сходимости – сверхлинейная;

квадратичная

 

 

Постановка задачи

Пример. Рассмотрим поведение фирмы в долгосрочном периоде, когда все используемые факторы являются переменными. Здесь предприятие сталкивается с проблемой выбора факторов, обеспечивающих достижение некоторого заданного объема производства с минимальными затратами.

Будем считать, что для производства продукта в объеме Y ₀ используются два фактора труд L и капитал K, связанные с выпуском производственной функцией и нанятые (или арендованные) на конкурентных рынках по фиксированным ценам. Цена труда равна номинальной ставке заработной платы W, а цена капитала – арендной плате за оборудование R. Предполагаем также, что факторы производства K и L характеризуются предельным продуктом капитала g =¶ F (K,L)/¶ K >0 и предельным продуктом труда v =¶ F (K,L)/¶ L >0. Тогда проблема оптимального выбора факторов сводится к задаче минимизации совокупных затрат

 

C=WL+RK ®min

при ограничении на объем выпуска Y ₀

 

F(K,L)= Y₀

и условии положительных переменных K>0, L>0, что следует из свойства производственной функции.

Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования

C=WL+RK ®min,

F(K,L)= Y₀,

K>0, L>0.

В общем случае в задачах нелинейного программирования допустимое множество представляет собой множество решений систем алгебраических уравнений и неравенств (ограничения – равенства, ограничения - неравенства):

, (1)

 

(2)

Ограничений на m здесь нет. Хотя бы одно из ограничений имеет вид неравенства. Хотя бы одна из функций – нелинейная.

В векторной форме задача нелинейного программирования принимает вид:

. ()

 

Определение 1

Ограничения вида

или

называются функциональными ограничениями.

Ограничения вида

называются прямыми ограничениями.

 

Определение 2

Ограничение - неравенство

 

будем называть активным (эффективным) в точке , если

 

.

 

В противном случае ограничение будем называть неактивным (неэффективным)

 

УСЛОВНАЯ МАКСИМИЗАЦИЯ

 

(7)

 

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис. 7.1,6 приведено решение задачи

.

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (7). Например, если сопутствующий критерий характери­зует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа не­равенств:

 

. (8)

 

На рис. приведено решение задачи

 

.

 

 

Принятие решений (ВЫБОР)

 

Будем представлять принятие решения как действие над множест­вом альтернатив, в результате которого получается подмножество выб­ранных альтернатив (обычно это одна альтернатива, что не обязательно, а иногда и невозможно).

Последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности ), иметь вероятностный характер, когда известны веро­ятности возможных исходов после сделанного выбора (выбор в усло­виях риска ), или иметь неоднозначный исход, не допускающий введения вероятностей (выбор в условиях неопределенности)

Три основных языка описания выбора:

· критериальный язык,

· язык бинарных отношений,

· язык функций выбора.

КРИТЕРИАЛЬНЫЙ ЯЗЫК ОПИСАНИЯ ВЫБОРА

 

Пусть — некоторая альтернатива из мно­жества X. Считается, что для всех может быть задана функция , которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива предпочтительнее альтернативы (будем обозначать это ), и обратно.

Если теперь сделать еще одно важное пред­положение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным послед­ствиям (т.е. считать, что выбор осуществляет­ся в условиях определенности) и заданный критерий численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой является, естественно, та, которая обладает наибольшим (или наименьшим) значением критерия:

 

. (1)

 

Задачи (1), связанные с нахождением минимума или максимума критерия , называются экстремальными или оптимизационными задачами.