Задача безусловной оптимизации (задача без ограничений)

 

(6)

 

 

Задача условной оптимизации (задача с ограничениями или задача математического

Программирования)

(7)

 

 

Задача безусловной оптимизации

Постановка и схема решения задачи

Данные: ;

Модель: ;

- управляющие переменные;

 

Задача безусловной оптимизации имеет вид:

(6)

 

Предполагается, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на , т.е. в точке имеет градиент

и матрицу Гессе

.

Схема решения задачи оптимизации может выглядеть следующим образом:

1. Находятся все точки локальных минимумов;

2. Вычисляются значения функции во всех найденных точках и выбирается точка с наименьшим значением функции. Это и есть решение задачи.

 

Необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума

 

Теорема 1 Необходимое условие наличия локального экстремума

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция в точке . Если - точка локального минимума (максимума) функции , то

(7)

 

Точка , удовлетворяющая условию (7), называется стационарной точкой функции или задачи (1).

 

Для выявления искомой точки на множестве стационарных используется условие локальной оптимальности второго порядка

Теорема 2

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если - точка локального минимума функции , то матрица Гессе неотрицательно определена, т.е.

 

, (8)

 

где

 

Теорема 3 Достаточное условие локальной оптимальности

 

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если удовлетворяет условию (2), а матрица Гессе положительно определена, т.е.

 

, (9)

то - точка строгого локального минимума функции

 

 

Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра

Для установления знакоопределенности квадратной матрицы предлагается следующая схема:

1. Если знаки всех угловых миноров матрицы положительны, то она является положительно определенной ;

2. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то матрица отрицательно определена

;

 

 

2.4. Одномерная минимизация

 

Для функции одной переменной необходимые условия локальной оптимальности определяется следующими соотношениями:

 

(1)

 

Достаточное условие

 

 

Модель спроса на наличные деньги

 

Согласно этой модели определяются размеры необходимой суммы наличных денег. Предполагается, что годовая потребность (годовой спрос) в наличных деньгах субъекта, которые находятся на банковском счете под процент , известна - . При необходимости субъект посещает банк и снимает со счета определенную сумму денег - , которую он использует для покрытия своих расходов. Его запас наличности становится , а затем начинает уменьшаться с интенсивностью . Когда денежный запас исчерпан , следует новое обращение в банк и т.д. Графически эту процедуру можно представить следующим образом

 

Рис.1

 

 

Средний уровень денег на руках

 

 

 

 

- комиссионные расходы, связанные с однократным заказом денег в банке

 

- число посещений банка в год

 

Годовые затраты на банковские операции

 

 

Альтернативные потери от хранения денег «на руках»

(недополучение банковского процента)

 

 

Издержки хранения денежных средств на руках

Рис.2

 

 

 

 

 

 

- формула Баумоля – Тобина

 

 

 

 

Принятие решений в задаче управления запасами

 

Введение

 

В зависимости от ситуации под запасами могут подразумеваться: готовая продукция, сырье, полуфабрикаты, станки, инструмент, транспортные средства, наличные деньги и др.

 

При управлении запасами принимаются решения:

 

· когда закупать необходимые ресурсы (пополнять запас);

· какое количество продукции заказывать? (каков должен быть размер заказываемой партии).

 

Затраты при организации запасов товаров:

· затраты, связанные с выполнением заказа – расходы по оформлению заказа, транспортные расходы, затраты на обработку заказов и ведение учета поставок и др.;

· затраты, связанные с хранением товаров;

· потери от дефицита;

· затраты на приобретение товаров

 

Суммарные затраты =

 

Факторы, учитываемые при построении модели: спрос на данный товар; запаздывание поставки заказа или срок выполнения заказа; как происходит пополнение запаса; горизонт планирования; номенклатура запасаемых товаров.