Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона

Пусть и - упорядоченные по возрастанию выборки. Для проверки гипотезы сдвига Манн и Уитни предложили ранговый критерий, основанный на статистике [1]

, где = (1.1)

Здесь - точное число пар значений и , для которых .

 

Если

(1.2)

гипотеза сдвига отклоняется ( - критические значения критерия Манна-Уитни) [1].

С -статистикой Манна-Уитни связана статистика Вилкоксона, определяемая суммой рангов элементов одной выборки (предположим, объема ) в общей упорядоченной последовательности элементов совместной выборки объема () [1]:

(1.3)

При применима аппроксимация [1]

(1.4)

Статистика W аппроксимируется нормальным распределением, и гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью , если

(1.5)

Если в двух сравниваемых выборках есть совпадающие значения, то им рекомендуется приписывать средние ранги (среднеарифметическое для каждой серии последовательных рангов). При этом в знаменателе статистики следует использовать величину [1]

(1.6)

где — общее число групп совпадающих величин; - число совпавших величин в i-й группе (следует помнить, что совпадения учитываются только тогда, когда совпавшие величины принадлежат различным выборкам, т. е. совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину W не влияют).

Более точная аппроксимация предложена Иманом [1]. В соответствии с ней гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью , если

(1.7)

где

(1.8)

- - квантиль нормального распределения; - - квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы; .

Асимптотическая эффективность критерия Манна—Уитни равна

Одним из вариантов применения рассмотренного критерия является так называемый ранговый критерий Вилкоксона. Его статистика строится следующим образом. Для двух выборок и одинакового объема строится ряд разностей [1]

(1.9)

который затем ранжируется по возрастанию.

В упорядоченном ряду значений находится сумма рангов Т величин [1]

. (1.10)

Гипотеза сдвига отклоняется, если [1]

, (1.11)

где и - критические значения статистики Т знакового рангового критерия Вилкоксона.

При применимо приближение [1]

(1.12)

При [1]

(1.13)

гипотеза сдвига отклоняется (здесь – -квантиль стандартного нормального распределения).

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне достоверности если [1]

(1.14),

где

(1.15)

– - квантиль стандартного нормального распределения; - - квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы.

Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга

Критерий основан на статистике - математическое ожидание -ой порядковой статистики в выборке объема из стандартного нормального распределения; - ранг значений в объединенной ранжированной выборке и (или ранг в объединенной выборке, тогда суммирование нужно вести по

Для может быть использована аппроксимация

, где

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения

статистики Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга [1].

Критерий Ван дер Вардена

Статистика критерия имеет вид

где – γ - квантиль стандартного нормального распределения.

Для вычисления квантилей может быть применено приближение

.

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения статистики Ван дер Вардена.

При распределение X удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если , гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α.

При эффективность критерия Ван дер Вардена не уступает эффективности критерия Стьюдента [1].

Медианный критерий

Статистика критерия строится следующим образом. Находится медиана общего упорядоченного ряда и подсчитывается число наблюдений выборки , превосходящих медиану (если нечетно и медиана принадлежит выборке , то это число увеличивается на 1/2). Тогда статистика критерия может быть записана как

, где

При распределение удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если

то с достоверностью гипотеза сдвига отклоняется.

Иногда применяется другая форма медианного критерия. Пусть А и С — количества элементов выборки соответственно бо́льших и меньших медианы объединенной выборки, а В и D — аналогичные числа для выборки . Тогда статистикой критерия сдвига является величина

имеющая, при отсутствии сдвига, распределение хи-квадрат с степенью свободы.

Критерий неприменим, если А, В, С или D < 5 и . Эффективность медианного критерия по сравнению с критерием Стьюдента в случае нормального распределения равна 2/π ≈ 0,64 [1].

Критерий Мостеллера

Гипотеза равенства средних двух выборок одинакового объема отклоняется с доверительной вероятностью 0,95, если 5 (при 25) или 6 (при ) наибольших или наименьших значений содержатся в одной и той же выборке. Критерий имеет низкую мощность и может быть рекомендован только для быстрой грубой проверки гипотез сдвига [1].

Критерий Розенбаума

Применим для двух выборок равного объема. Если не менее 5 (для и α=0,95) или 7 (для и α = 0,99) значений одной выборки находятся вне размаха второй выборки, то нулевая гипотеза отсутствия сдвига на указанных уровнях достоверности отклоняется.

Критерий рекомендуется использовать для быстрой приближенной проверки гипотезы сдвига [1].

1.1.2 Сравнение параметров сдвига нескольких ( ) совокупностей

Критерий Круcкала—Уоллиса

Пусть в нашем распоряжении имеются выборок случайных величин

Упорядочим все элементов выборок по возрастанию и обозначим через ранг -ого элемента -й выборки в общем упорядоченном ряду.

Статистика критерия Крускала-Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения нескольких сравниваемых выборок имеет вид [1]

где . (1.17)

Критерий Крускала-Уоллиса является многомерным обобщением двухвыборочного критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости α, если , где - критическое значение критерия Крускала-Уоллиса для . При применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Крускала-Уоллиса.

Пусть [1]

(1.18)

(1.19)

Тогда статистика [1]

(1.20)

будет иметь при отсутствии сдвига -распределение с и степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если [1]

(). (1.21)

Аппроксимация Имана-Давенпорта.

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α, если [1]

(1.22)

где

(1.23)

- соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Крускала-Уоллиса. При наличии связанных рангов (т. е. когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваивается одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику [1]

, (1.24)

где

(1.25)

– размер группы одинаковых элементов; q – количество одинаковых элементов.

При 20 справедлива аппроксимация распределения статистики -распределением с степенями свободы, т. е. нулевая гипотеза отклоняется, если .

Критерий Неменьи

Критерий применим для выборок равного объема (т. е ). Статистика критерия, предложенного Неменьи, в обозначениях, принятых для критерия Крускала-Уоллиса имеет вид

Гипотеза сдвига считается принятой, если , где – критические значения критерия Неменьи [1].

Критерий Вилкоксона—Вилкокс

Критерий подобен критерию Неменьи. Пусть имеются выборок равного объема и – -й элемент -й выборки (). Обозначим через ранг -го наблюдения -й выборки в упорядоченном по возрастанию ряду

-х элементов выборок и через сумму рангов -й выборки.

Статистикой критерия является разность

где (α) - критические значения критерия Вилкоксона-Вилкокс.

При (α) с доверительной вероятностью α гипотеза сдвига принимается.

Так же, как и критерий Неменьи, настоящий критерий позволяет выявить выборки, приводящие к отклонению нулевой гипотезы [1].

1.1.2.4. „Быстрый” критерий Кенуя

Среди выборок равного объема находятся наибольшее среди наименьших значений и наименьшее среди наибольших значений в выборках. Подсчитываются количества наблюдений, для которых и для которых . Статистикой критерия Кенуя является сумма . – критические значения критерия Кенуя [1].