Перевірка статистичних гіпотез. Критерій Колмогорова, Колмогорова-Смірнова.

1)Гіпотези про розподіл

,

Головна гіпотеза

Альтернатив.

2)Гіпотези однорідності

3)Гіпотези незалежності

- незалежні

- залежні

Критерій згоди-апарат перевірки гіпотез

- критерій

При справедлив. можна порахувати. Шукається порогове .

;

Критерій Колмогорова для перевірки гіпотез про розподіл

,

Якщо, справедливе , то

Якщо,

Для непер.

Критерій Колмогорова-Смірнова

де - емпіричні ф-ії розподілу, побудовані за першою і другою вибірками. При розподіл випадкової величини збігається до розподілу Колмогорова. Якщо, , то гіпотеза відхиляється, а при приймається.

 

Задача про вибір двох простих гіпотез. Лема Неймана-Пірсона.

Нехай і . По вибірці потрібно визначити, яка з цих гіпотез вірна. Нехай .

Лема Неймана-Пірсона. Серед усіх можливих критичний областей, для яких ймовірність похибки першого роду дорівнює , мінімальне значення похибки другого роду досягається на області, яка визначається нерівністю , де константа вибирається з умови .
Тобто критерій з критичною областю являється найбільш потужним.

Доведення.

 

Критерій Неймана-Пірсона для перевірки простих гіпотез про математичне сподівання для нормального розподілу.

-фіксоване потужність критерію

-критична область

Теорема. , тоді серед усіх критеріїв, у яких похибка I роду найбільш потужним є критерій з областю

Доведення:

будь-яка інша критична область, для якої похибка I роду

Покажемо

 

Критерій Неймана-Пірсона для дискретних розподілів. Рандомізовані критерії.

; -функція рандомізації

З ймов.

Якщо

. Далі вводимо функцію рандомізації:

Нехай функція з похиб. І роду має пох. ІІ роду

~ ~

~ ~

 

Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань двох нормальних сукупностей

Нехай маємо та - незалежні випадкові величини. Маємо:

 

1.

2. - невідомі

 

Перевірка гіпотез про рівність дисперсій двох вибірок з нормальних сукупностей.

3.

Фішера-Снедекора:

4. - невідомі

 

Послідовний аналіз. Критерій Вальда.

Якщо

Припустимо, що

Теорема 1.

Теорема 2. Конст. критерію сили задовольняють наступні нерівності:

Критерій

;

Критерій Вальда

Елементи кореляційного аналізу. Коефіцієнт тісноти зв’язку

- залежні. - ф-ція регресії по , , , . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; - кореляція; .

- коеф. тісноти зв’язку (корел. віднош.)

- найсильн. зв’язок; - некорел. велич.

Для лінійн. ф-цій вик.

 

Метод найменших квадратів. Лінійна регресія.

 

МНК (Гаус)

Лінійна регресія:

 

 

Коефіцієнти кореляції рангів Спірмена та Кендела.

n умовних спостережень над 2 вип. вел

- ранги

- різниця рангів

- коефіцієнткореляціїрангівСпірмена

Приклад:

	А	Б	В	Г
I
II

Чисуттєвийзв’язок?

високий зв’язок

Коефіцієнт кореляції рангів Кендела:

Якщо є однакові ранги знаходимо середнє арифметичне

t – кількість повторів

Приклад:

	А	Б	В	Г
I		2,5	2,5
II			3,5	3,5
		0,5		0,5
		0,25		0,25

 

Однофакторний дисперсійний аналіз.

Дисперсійний аналіз – це статматаналіз статспостереж., які залежать від різнодночасно діючихфакт. Вибір найважл ф та оцінка їх впливу.

Спостереження

Перевіряємо

Q=Q₁+Q₂ – тотожність однофакторного дисперсійного аналізу.

Q₁ – сер.- квадратичне відхилення по факт. А

Q₂ - залишкове відхилення.

- незмінна оцінка

- дисп. вплив факт. А - залишк дисперсія

 

Критерій перевірки гіпотези.

- Фішера-Снедекора

 

Двофакторний дисперсійний аналіз.

Де дисперсія більша, той фактор сильніше впливає.

 

Статистичні рішаючи функції. Байєсівське та мінімаксне рішення.

Байєсівськерішення

- щільність

Прав. називаєтьсябайєсівськимрішенням (правилом), якщо

- апріорний розподіл

- апостеріорний розподіл

Мінімальні втрати по апоастр.розподілу

Мінімаксне рішення

- мінімаксне, якщо

Оцінки параметрів та перевірки гіпотез з позиції теорії рішень.

, , , ,

, ,

,

Перевірка гіпотез:

 

 

 

Задача класифікації спостережень.

Вводимо множину класифікації:

Втрати:

Середні втрати:

Вектор втрат:

Байсівське рішення

Апріорний розподіл:

Усереднення по зростанню:

Апостеріорний розпод:

Середні втрати по апостеріорному розподілу:

. Отже, найкраще рішення (байсівське):

Розглянемо 2 частинні випадки:

1) Нехай

Принцип максимуму апостеріорної ймовірності:

2) Нехай k=2

Яке менше – те рішення і приймаємо:

 

Класифікація спостережень у випадку двох нормальних сукупностей.

x

фі(х) – дискримінантна лінійна функція