Ланцюги Маркова з неперервним часом.

Ланцюги Маркова з неперервним часом.

Формула Чеклана-Колмогорова

Інфінітизимальні характеристики

1. 2.

1. поглинаючий стан

2. миттєвий стан

3. затримуючий стан

i

j

регулярний ЛМ

Система диференційних рівнянь Колмогорова

- обернена система

Пряма система

при множенні на попереднє отримуємо наступну систему:

Ергодичний розподіл:

Приклад – ланцюги Маркова з неперервним часом

 

Процеси загибелі та народження

- інтенс. народження, - смерті

 

 

,

,

,

, ,

,

- ймовірність знаходж. в стані j

(умова ергодичності)

Застосування ланцюгів Маркова в теорії масового обслуговування.

Система масового обслуговування(СМО): є n приладів, на які поступають замовлення через випадковий проміжок часу; час обслуговування – випадковий;можливо: всі зайняті; n+1 створюють чергу; т місць у черзі.

A|B|n|m – СМО; A – вхідний потік замовлення, B – відповідає за обслуговування; n- к-сть приладів; m – к-сть місць у черзі,

якщо параметр т пропущений, то черга

М|M|n|m – марківський (описується процесом смертності-народження)

М|M|n – с-ма без втрат (М|M|n|0 – формула Ерланта)

М|M|1 – 1 прилад, нескінченна черга;

параметри .

Загрузка системи ;

Якщо – ергодичний розподіл, – не ерг. розп., черга росте

– середнє число замовлень в с-мі

Середня довжина черги

М|M|n

Ергодичний розподіл –

Загрузка системи –

М|M|1|0

М|M|n|m

,

 

5. Умовні математичні сподівання. Властивості. Мартингали. Приклади.

Умовні мат. сподівання:

- умовна функція розподілу

- умовне мат. сподівання

Формула повної ймов. для умовного мат. сподівання:

Приклад:

 

– ймов. простір

Існує

Означення: умовним мат. сподіванням по сігма-алгебріназ. -вимірна вип. вел. для якої викон. рівність:

–вимірна означає

Властивості умовного мат. сподівання:

1) не залежить від

2) якщо –вимірна

3) - –вимірна

4) лінійність

5)

6)

7) якщо

 

Мартингали:

Є послідовність вип. вел

Пара наз. мартингалом, якщо ,

- –вимірна

– субмартингал

- супермартингал

Приклад1:

Нехай - н.в.в.

Послідовність , - мартингал

Приклад2:

, - мартингал

Приклад3:

, - мартингал

Теорема про збіжність Дуба: якщо - субмартингал,

, тоді ,

 

Поняття про стохастичні інтеграл Іто. Стохаст диференціал.

w(t) – стандартний вінерівський процес, такий, що він - вимірний.

= Вводиться функція f(t) -вимірна, f(t) – ступінчата

Властивості інтеграла Іто:

1.

2.

3.

5.

6. w₁, w₂– незалежні, f,g є M²[a,b]

Загальна f(t) є M² [a,b] – інтегрована в квадраті.

- інтеграл Іто в загал. випадку

Стохастичний диференціал. a(t), b(t) – випадкові величини. [ t_0, T]

Стохастичнийдифер.вінерівськогопроцесу

Формула Іто:

 

Стаціонарні процеси. Приклади.

Формула Блека-Шоуза.

Нехай S(t) - ціна акцій в момент часу t, це випадковий процес, для якого справедливо:

Вип.процес наз.стаціонарним у вузькому розумінні, якщо розподіл вектора не залежить від .

Вип.процес наз. стаціонарним в широкому розумінні, якщо

Будь-який процес у вузьк. розумінні є і в широкому.

R(t) – корел.функція стаціонарного в широкому розум.процесу

Теорема Бохнера-Хінчина

Теорема Хінчина. Неперервна ф-ія

Доведення.

Необх.

Дост.

 

Приклади.

 

Спектральна функція і спектральна щільність стаціонарного процесу.

Теорема Бахнера – Хінчена

Теорема Хінчена

- корел

- неспаднаф-ція обмеж. варіації

Доведення

- корел

- спектральна функція

Якщо існує - спектральна щільність

- корел. ф-я

9.Основні задачі математичної статистики:

1) Оцінка невідомих параметрів.

Нехай є n-вимірна ( функція розподілу випадкової величини Параметр невідомий. Необхідно знайти найкращу оцінку .

2) Перевірка статистичних гіпотез.

- основна гіпотеза

- альтернативна

Основні види:

а) гіпотези про розподіл

б) гіпотези однорідності:

Нехай є розподіли та

в) гіпотези незалежності:

незалежні

залежні.

 

Основні позначення мат. статистики:

Нехай є розподіл та його функція . Послідовність називається вибірка обсягу nз генеральної сукупності випадкової величини з функції розподілу

-п.н.о.р.в.в. з

В свою чергу, називається реалізацією вибірки, де - значення , - значення ,…, - значення .

Перепозначимо індекси:

Таким чином утворимо реалізацію варіаційного статистичного ряду.

- це є варіаційний статистичний ряд.

-i-та порядкова статистика.

Гістограма

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i; n_i), або (x_i; W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

 

Гістограма частот та відносних частот. Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висотy .

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює .

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот .

 

Порядкові статистики.

-k-та порядкова статистика

;

;

;

,

;

Теорема:

, k=1,2,…,n+1

,

 

Мода та медіана.

Медіана Величина називається медіаною. для випадкової величини , якщо

Оцінка медіани Ме

1) Для дискретних статистичних рядів:

 

2) Для інтервальних статистичних рядів:

	[0,2]	[2,6]	[6,10]

n=36

Мода — найбільш популярне число вибірки.

1) Для дискретного статистичного ряду:

 

 

2) Для інтервального статистичного ряду:

,

	[0,2)	[2,6)	[6,10)

 

Метод моментів. Приклад.

Складемо систему рівнянь:

Якщо можна розв’язати, то є оцінка.

Приклад.

Оцінки методу моментів спроможні, асимптотично нормальні, але дуже часто зміщені та неефективні.

 

Лемма 2

, r<nі не залежить від .

 

Теорема Фішера:

Нехай

Тоді: і незалежні між собою.

Доведемо для а=0,

Розглянемо матриці виду:

Отже, не залежить від .

3) Отже, третій випадок: -невідомі. а-?

 

4) Отже, четвертий випадок: -невідомі. -?

 

25.Критерій X²

∆1∆2 … ∆s   m1 m2 … ms

інтервал чи число mi

Нехай задані спостереження:

 

Теорема:

. Доведення:

Якщо недіагональні вектори не =0, то компоненти залежні:

Отже,

Доведено.

Побудова критерію:

1)Наперед задається α.

2)За допомогою таблиць визначається значення величини

3) Якщо і

Зауваження: Якщо функція розподілу містить невідомий параметр, то замість параметра підставляємо оцінки:

26.Критерій Xдля перевірки незалежності та однорідності. Критерій однорідності

Цей критерій можна використовувати для перевірки даних, що мають дискретну структуру. Окрім того,за допомогою цього критерію можна перевіряти однорідність будь-якого скінченного числа вибірок. Нехай проведено kпослідовних серій незалежних спостережень, які складаються з спостережень. При цьому в кожному експерименті може виникнути один з наслідків, n _ij— число виникнень i -го наслідку в j -й серії. — загальна кількість об’єм спостережень. Потрібно перевірити гіпотезу H ₀ про те, що всі спостереження проводилися над однією і тією ж величиною. Статистикою критерію є величина:

У таблиці - розподілу за даними і числом степенів свободи m=(l-1)(k-1) знаходимо число . Якщо то гіпотеза відхиляється, якщо ж то гіпотеза приймається.

Критерій незалежності

Критерій дає змогу перевіряти також гіпотезу про незалежність двох випадкових величин та h. Статистикою критерію є величина

де v_ij — число випадків, коли одночасно спостерігалися x = x_i та h = y_j (для неперервних випадкових величин i та j — номери відповідних інтервалів),

і — число значень, яких набувають випадкові величини та h; — обсяг вибірки. Вибір табличного значення і прийняття рішення проводиться аналогічно описаній вище процедурі для критерію однорідності

Критерій Вальда

Ланцюги Маркова з неперервним часом.

Формула Чеклана-Колмогорова

Інфінітизимальні характеристики

1. 2.

1. поглинаючий стан

2. миттєвий стан

3. затримуючий стан

i

j

регулярний ЛМ