Вибіркові математичне сподівання та дисперсія.

Нехай - k- й момент випадкової величини, тобто .

Вибірковим моментом k- го порядку називають статистику .

При k =1 величину наз. вибірковим середнім і позначають .

Якщо - реалізація вибірки , то через будемо позначати середнє арифметичне , а через .

Через . Аналогічно, вибірковим центральним моментом k- го порядку називають випадкову величину .

При k =2 величину називають вибіркову дисперсією і позначають символом .

Якщо , то являються незміщеною, сильно спроможною, а якщо , то асимптотично нормальною оцінкою математичного сподівання (у цьому випадку ).

Зауважимо, що . Перевіримо, чи буде незміщеною оцінка дисперсії:

Тут використовувалась рівність . Отже, є незміщеною оцінкою дисперсії. Нехай , тоді . Тобто є незміщеною оцінкою дисперсії. При цьому вона буде і сильно спроможною оцінкою.

Якщо математичне сподівання відоме, то незміщеною, сильно спроможною і асимптотично нормальною оцінкою дисперсії є оцінка .

При дослідженні властивостей графіка щільності розподілу неперервної випадкової величини часто розглядають такі характеристики як коефіцієнти асиметрії і ексцесу : .

Якщо графік щільності розподілу симетричний відносно математичного сподівання, то . Наприклад, для нормального розподілу . При симетрія порушена вправо, а при - вліво.

Аналогічно, для нормального розподілу . Якщо для деякого розподілу , то кажуть, що він має нормальний ексцес. При , вважають,що ексцес додатній(від’ємний). Відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу визначаються по формулам: .

Мода та медіана.

Медіана Величина називається медіаною. для випадкової величини , якщо

Оцінка медіани Ме

1) Для дискретних статистичних рядів:

 

2) Для інтервальних статистичних рядів:

	[0,2]	[2,6]	[6,10]

n=36

Мода — найбільш популярне число вибірки.

1) Для дискретного статистичного ряду:

 

 

2) Для інтервального статистичного ряду:

,

	[0,2)	[2,6)	[6,10)

 

Оцінювання невідомих параметрів по емпіричній функції розподілу. Властивості оцінок.

, x= )

, Оцінка . Будь-яка функція від вибірки - статистика.

Класиф.1:оцінка невідомого параметра наз. незміщеною,якщо

Якщо - оц. зміщенна. - зсув оцінки.

Класиф.2:незміщена оцінка невід.параметра назив. спроможною, якщо

Класиф.3: незміщена оцінка невід.параметра назив. асимптотично нормальною,якщо

Класиф.4:незміщена оцінка назив. оптимальною,якщо дисперсія найменша серед усіх можливих оцінок.

Оцінка невідомого мат.сподівання:

1. - найкраща оцінка

=

Властивості оцінок:

К.1)

К.2)

К.3)

К.4) Для більшості класичних розподілів вона буде оптимальною

- вибіркове середнє

 

Ефективні точкові оцінки. НерівністьКрамера-Рао

Нехай

- функціяправдоподібності

Лема 1. Якщо виконуютьсянаступніумови:

1)

2)

3) , тоді

- щільн.

НерівністьКрамера-Рао:

Нехай - довільнанезалежнаоцінкафукції

Якщовиконуєтьсяумови не лише 1, а також - двічі непер.дифер., дисперсія оцінки обмежен. та

, де

Наслідок:

1). Нехай - незалежна оцінка для a

Якщодисперсія незалежної оцінки дорівнює , то оцінка ефективна. Якщо для існує ефективна оцінка, то вона оптимально.

, - найкраща оцінка для

- ефективна оцінка

2). Нехай - зміщена оцінка

, тоді

Теорема:

Незм.оцінка ефективнатоді і тількитоді, коли перша похідна:

 

17. Достатні статистики.

Статистика, яка несе в собі всю інформацію про невідомий параметр ϴ наз. достатньою.

Т1. Критерій факторизації

Статистика достатня коли функція правдоподібна, тобто

- тривіальна достатня статистика

Доведення Необх-ть: -достатня статистика, ,

Достат-ть:

Нехай виконується

Приклад: Розподіл Пуасона:

Достатня статистика

Властивості достатніх статистик

Т2. Якщо для ϴ існує оптимальна оцінка, то вона є функцією від достатньої статистики.

- довільна незміщена статистика від ϴ.

- нетривіальна достатня статистика

Ф-ія від достат. статистики буде найкр. оцінкою.

 

Метод моментів. Приклад.

Складемо систему рівнянь:

Якщо можна розв’язати, то є оцінка.

Приклад.

Оцінки методу моментів спроможні, асимптотично нормальні, але дуже часто зміщені та неефективні.