Система диференційних рівнянь Колмогорова

- обернена система

Пряма система

при множенні на попереднє отримуємо наступну систему:

Ергодичний розподіл:

Приклад – ланцюги Маркова з неперервним часом

 

Процеси загибелі та народження

- інтенс. народження, - смерті

 

 

,

,

,

, ,

,

- ймовірність знаходж. в стані j

(умова ергодичності)

Застосування ланцюгів Маркова в теорії масового обслуговування.

Система масового обслуговування(СМО): є n приладів, на які поступають замовлення через випадковий проміжок часу; час обслуговування – випадковий;можливо: всі зайняті; n+1 створюють чергу; т місць у черзі.

A|B|n|m – СМО; A – вхідний потік замовлення, B – відповідає за обслуговування; n- к-сть приладів; m – к-сть місць у черзі,

якщо параметр т пропущений, то черга

М|M|n|m – марківський (описується процесом смертності-народження)

М|M|n – с-ма без втрат (М|M|n|0 – формула Ерланта)

М|M|1 – 1 прилад, нескінченна черга;

параметри .

Загрузка системи ;

Якщо – ергодичний розподіл, – не ерг. розп., черга росте

– середнє число замовлень в с-мі

Середня довжина черги

М|M|n

Ергодичний розподіл –

Загрузка системи –

М|M|1|0

М|M|n|m

,

 

5. Умовні математичні сподівання. Властивості. Мартингали. Приклади.

Умовні мат. сподівання:

- умовна функція розподілу

- умовне мат. сподівання

Формула повної ймов. для умовного мат. сподівання:

Приклад:

 

– ймов. простір

Існує

Означення: умовним мат. сподіванням по сігма-алгебріназ. -вимірна вип. вел. для якої викон. рівність:

–вимірна означає

Властивості умовного мат. сподівання:

1) не залежить від

2) якщо –вимірна

3) - –вимірна

4) лінійність

5)

6)

7) якщо

 

Мартингали:

Є послідовність вип. вел

Пара наз. мартингалом, якщо ,

- –вимірна

– субмартингал

- супермартингал

Приклад1:

Нехай - н.в.в.

Послідовність , - мартингал

Приклад2:

, - мартингал

Приклад3:

, - мартингал

Теорема про збіжність Дуба: якщо - субмартингал,

, тоді ,

 

Поняття про стохастичні інтеграл Іто. Стохаст диференціал.

w(t) – стандартний вінерівський процес, такий, що він - вимірний.

= Вводиться функція f(t) -вимірна, f(t) – ступінчата

Властивості інтеграла Іто:

1.

2.

3.

5.

6. w₁, w₂– незалежні, f,g є M²[a,b]

Загальна f(t) є M² [a,b] – інтегрована в квадраті.

- інтеграл Іто в загал. випадку

Стохастичний диференціал. a(t), b(t) – випадкові величини. [ t_0, T]

Стохастичнийдифер.вінерівськогопроцесу

Формула Іто:

 

Стаціонарні процеси. Приклади.

Формула Блека-Шоуза.

Нехай S(t) - ціна акцій в момент часу t, це випадковий процес, для якого справедливо:

Вип.процес наз.стаціонарним у вузькому розумінні, якщо розподіл вектора не залежить від .

Вип.процес наз. стаціонарним в широкому розумінні, якщо

Будь-який процес у вузьк. розумінні є і в широкому.

R(t) – корел.функція стаціонарного в широкому розум.процесу

Теорема Бохнера-Хінчина

Теорема Хінчина. Неперервна ф-ія

Доведення.

Необх.

Дост.

 

Приклади.

 

Спектральна функція і спектральна щільність стаціонарного процесу.

Теорема Бахнера – Хінчена

Теорема Хінчена

- корел

- неспаднаф-ція обмеж. варіації

Доведення

- корел

- спектральна функція

Якщо існує - спектральна щільність

- корел. ф-я

9.Основні задачі математичної статистики:

1) Оцінка невідомих параметрів.

Нехай є n-вимірна ( функція розподілу випадкової величини Параметр невідомий. Необхідно знайти найкращу оцінку .

2) Перевірка статистичних гіпотез.

- основна гіпотеза

- альтернативна

Основні види:

а) гіпотези про розподіл

б) гіпотези однорідності:

Нехай є розподіли та

в) гіпотези незалежності:

незалежні

залежні.

 

Основні позначення мат. статистики:

Нехай є розподіл та його функція . Послідовність називається вибірка обсягу nз генеральної сукупності випадкової величини з функції розподілу

-п.н.о.р.в.в. з

В свою чергу, називається реалізацією вибірки, де - значення , - значення ,…, - значення .

Перепозначимо індекси:

Таким чином утворимо реалізацію варіаційного статистичного ряду.

- це є варіаційний статистичний ряд.

-i-та порядкова статистика.

Емпірична функція розподілу. Асимптотичні властивості.

Нехай - невідома функція.

- емпірична функція розподілу.

Дискретна статистична таблиця, прикладn=20

0 1 2 3 4 5

6 2 5 3 2 2

yi

mi

0 1 2 3 4 5

18/20 16/20 13/20   8/20 6/20

-1 0 1 2 3 4 5

6/20 5/20   3/20 2/20

•

•

•

•

•

•

•

•

Полігон частот

 

Інтервальна статистична таблиця

y1^*y2^*ys^* [y1, y2) [y2, y3) … [ys, ys+1)   m1 m2 … ms

 

Приклад:

0,4 1,05 1,65 [0, 0,8) [0,8;1,3) [1;3)   8 4 8

0 0,4 0,8 1,05 1,3 1,65

16/20   10/20     4/20

 

 

Асимптотичні властивості емпіричної функції розподілу

Теорема1(Глівенко):

Теорема2(Колмогорова):

 

Гістограма

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i; n_i), або (x_i; W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

 

Гістограма частот та відносних частот. Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висотy .

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює .

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот .

 

Порядкові статистики.

-k-та порядкова статистика

;

;

;

,

;

Теорема:

, k=1,2,…,n+1

,