Перевірка лінійної регресії на адекватність (значимість) за допомогою f-критерію Фішера.

При побудові на основі вибірки отримують вибіркову (випадкову) модель парної лінійної регресії. Перевірку її на значимість (адекватність) і перевірку значимості її коефіцієнтів здійснюється на основі перевірки статистичних гіпотез.

Суть перевірки статистичних гіпотез: висувається (формується) початкова (нульова) гіпотеза Н₀, а також альтернативна їй гіпотеза Н₁. Вибирають деякий критерій, при цьому вважають, що він має один із статистичних способів розподілу випадкових величин, знаходять фактичне значення критерію. Потім за таблицями при заданому рівні значимості знаходять критичне значення критерію, який має такий самий закон розподілу. Порівнюють між собою отримані значення критерію і роблять наступний висновок: або приймається гіпотеза Н₀ або альтернативна їй Н₁.

Якщо значення коефіцієнта детермінації або , то тоді можна стверджувати про адекватність чи неадекватність побудованої моделі дійсній моделі.

Якщо , тоді перевірку на адекватність здійснюють за допомогою F-критерію Фішера.

Алгоритм перевірки

1. Формулюють статистичні гіпотези:

Якщо приймається нульова гіпотеза, тоді вважають, що побудована модель неадекватна дійсній. Якщо приймається альтернативна гіпотеза , побудована модель адекватна дійсній.

2. Задають (вибирають) критерій:

Де – кількість елементів у вибірці. Вважають, що даний критерій має розподіл Фішера з ступенями вільності (свободи).

3. Задають рівень значимості .

Якщо рівень значимості – це означає, що при прийнятті нульової гіпотези ми можемо помилитися не більше ніж в 5 випадках зі 100.

4. Знаходять фактичне значення критерію

5. Знаходять за таблицями розподілу Фішера критичне значення для вибраного рівня значимості і ступенів вільності .

6. Порівнюють між собою значення та .

Якщо , тоді приймається нульова гіпотеза і вважається побудована регресійна модель неадекватна дійсній, тобто не є значимою. В цьому випадку потрібно знаходити (вибирати) інший тип моделі, для описання зв’язку між змінними х та у.

Якщо , нульова гіпотеза відкидається, приймається альтернативна гіпотеза , і вважається, що побудована модель адекватна дійсній, тобто є значимою.

Зауваження: функція розподілу випадкової величини з розподілом Фішера має графік (графік).

 

Перевірка значимості параметрів регресійної моделі за допомогою t-критерію Ст’юдента

Для перевірки на значимість параметрів регресійної моделі, при умові, що вона адекватна дійсній, потрібно спочатку знайти оцінку дисперсії залишків (помилок):

називають стандартною помилкою рівняння регресії.

Тож потрібно знайти дисперсійно-коваріаційну матрицю параметрів моделей регресії:

, - оцінки параметрів дисперсії

, - стандартні похибки коефіцієнтів

Алгоритм перевірки значимості коефіцієнта

лінійної регресії

1. Висувають статистичні гіпотези:

2. Задають критерій:

()

Вважають, що цей критерій має розподіл Ст’юдента (t-розподіл) з

3. Знаходять фактичне значення критерію ().

4. Знаходять за таблицями t-розподілу для рівня значимості і ступенів вільності.

5. Порівнюють між собою два знайдені значення.

Якщо () тоді приймається нульова гіпотеза і коефіцієнт () вважається статистично не значимий, тобто його моделі можна опустити (відкинути). В противному випадку коефіцієнт () вважають статистично значимим при прийнятті альтернативної гіпотези.

- вибіркова модель

Зауваження: функція розподілу Ст’юдента або t-розподілу має вигляд: (графік).

 

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції за допомогою

T-критерію Ст’юдента.

Перевірка на значимість вибіркового коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-критерію Ст’юдента.

Для перевірки вибирають критерій:

Вважають, що цей критерій має розподіл Ст’юдента з ступенями вільності. Гіпотези мають вигляд:

Якщо приймається нульова гіпотеза, то вважають, що між змінними у та х не існує лінійної залежності. При гіпотезі вважається, що така залежність між у та х існує.

Якщо отримана вибіркова модель лінійної регресії адекватна дійсній моделі, оцінки параметрів статистично значимі та між змінними х та у існує лінійний зв'язок, то цю вибіркову модель можна використати для дослідження процесу, який вона описує. Дослідження полягає в тому, щоб встановити рівень впливу, в певному розумінні, незалежної змінної на залежну, а також можливі значення різного типу прогнозованих значень у.