Среднее арифметическое выборочной совокупности. Случайное отклонение.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Среднее арифметическое выборочной совокупности -это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество. Характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений.

где n – объём выборочной совокупности.

Случайное отклонение - это возникающее в ходе процесса отклонение, основанное на случайно произошедшем событии, то есть отклонение, определяемое некоей неустранимой причиной. Случайные отклонения результатов, характеризующие воспроизводимость методов анализа, являются статистическими величинами и определяются неявными факторами, изменяющимися от опыта к опыту. Воспроизводимость – качество измерения, отражающее близость друг к другу, выполненное в различных условиях. Случайное отклонение является разницей и отдельным результатом Xi и средним значением <X>. D=X-<X>

Выборочное стандартное отклонение. Дисперсия

Стандартное выборочное отклонение -оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии; среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.

г

де — дисперсия; — i -й элемент выборки; — объём выборки; — среднее арифметическое выборки:

Выборочное стандартное отклонение s зависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ. Стандартное отклонение показывает, насколько хорошо среднее значение описывает всю выборку.

Дисперсия – квадратное стандартное отклонение. Дисперсия отражает меру разброса данных вокруг средней величины, т.е.характеризуют среднее отклонение от среднего значения выборки.

Sx²=s²/n=∑(x-<x>)²/n(n-1)

 

 

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратическое отклонение -показатель рассеивания значений случайной величины.

Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения. В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. Среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить. На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.

Нормальное распределение

Свойство большого числа малых случайных погрешностей описываются нормальным распределением (уравнением Гаусса). Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид

, где a - любое действительное число, а >0.

Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Свойства:

1вероятность попадания СВ Х в интервал от (-∞;+)=1, следует, что площадь ограничена прямой и осью Х=1.

2.если через 2 значения Х:Х1 и Х2 провести вертикали до пересечения с прямой, то площадь, ограниченная Х1 и Х2 и кривой называется доверительной вероятностью.

 

 

Распределение Стьюдента

t-распределение Стьюдента - это непрерывное одномерное распределение с одним параметром - количеством степеней свободы.

Распределение Стьюдента по сути представляет собой сумму нескольких нормально распределенных случайных величин. Чем больше величин, тем больше верятность, что их сумма будет иметь нормальное распределение. (t-распределение) Таким образом, количество суммруемых величин определяет важнейший параметр формы данного распредения - число степеней свободы. Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при .

Плотность распределения Стьюдента по сравнению с плотностью стандартного нормального распределения.

Согласно данному распределению погрешность среднеарифметическая или относительное стандартное отклонение рассчитывается: S=t p,f*Sx/корень n, где t p,f – коэф.стьюдента, который зависит от f и p, p-доверительная вероятность. Sx/корень n – стандартное отклонение среднего значения.

Коэф.находят в специальных статистических таблицах. Из этих таблиц можно увидеть, что наиболее эффективно сужение доверит интервала наблюдается при увеличении числа значений n до 4-5. Если задана доверит.вер-ть р, то доверит.интервал можно легко определить и тогда искомая величина будет записана <x>±S. Обычно доверит.интервал анализа вычисляют при доверит.вер-ти p=0,95.

 

Требование к пробе анализа. Генеральная, средняя, лабораторная и анализируемая проба

Все вещества, которые поступают на предприятия для их дальнейшей переработки образуют генеральную или первичную совокупность. Поскольку поступает очень большое количество, то проводят отбор небольшой части этих веществ, т.е. отбор проб. В этом случае проба является частью всей генеральной сов-ти.Основное требование к пробе материала, поступающей в лабораторию - ее представительность, т.е.состав и свойства пробы и всей генеральной сов-ти должны бать близкими. Требование к пробам, находящимся в стадии анализа, – не допустить загрязнения в процессе пробоподготовки. В процессе отбора и хранения пробы возможны потери определяемых компонентов (особенно летучих компонентов), внесение загрязнений, изменения химического состава. Поэтому следует строго регламентировать методику пробоотбора: число и последовательность операций измельчения и просеивания, температурный режим, время растирания и контакта с атмосферой, материал пробоотборников и измельчающих устройств, способы очистки и т.д. Пробы, поступающие в лабораторию, осматривают, вскрывают упаковку и регистрируют в журнале в соответствии с сопроводительной документацией, удостоверяющей объект.

Првичную или генеральную пробу отбирают на первом этапе от большой массы материала, лабораторную или паспортную пробу получают после уменьшения массы генеральной пробы до массы, необходимой для проведения всего анализа полностью, аналитическую пробу отбирают от лабораторной для проведения единичного определения. Средней пробой называют относительно небольшое количество исследуемого материала, которое по своему составу, физическим и физико-химическим свойствам соответствует всей партии.Перед отбором генеральной пробы необходимо определить ее представительность, а при получении лабораторной, кроме того, рассчитать массу пробы, позволяющую провести весь анализ.