Выборочный метод и статистическое оценивание

7.1. Основные понятия и определения выборочного метода

Одно из популярных определений статистики говорит, что это – наука, позволяющая распространять выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), на всю совокупность (генеральную совокупность). В этом определении заключена сущность выборочного метода и его ведущая роль в статистике.

Все единицы совокупности, обладающие интересующими исследователя признаками, составляют генеральную совокупность.

Часть совокупности, случайным образом отобранная из генеральной совокупности – выборочная совокупность – выборка.[2]

Число единиц (элементов) статистической совокупности называется её объёмом. Объем генеральной совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности n. Если объем совокупности велик, то его полагают равным бесконечности.

Случайная выборка из n элементов - это такой отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным. Требование случайности обеспечивается отбором по таблицам случайных чисел или по жребию. Такая выборка называется собственно-случайной. Одним из примеров использования собственно-случайной выборки является проведение тиражей выигрышей денежно-вещевых лотерей, при которых обеспечивается равная возможность попадания в тираж любого но­мера лотерейного билета.

По способу отбора элементов различают два типа случайных выборок: собственно-случайная повторная выборка (схема возвращенного шара); собст­венно-случайнаябесповторная выборка (схема невозвращенного шара).

Выбор схемы отбора зависит от характера изучаемого объ­екта. Напомним, что при повторном отборе единица наблюдения после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается в генеральную совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом. При бесповторном отборе отобранный элемент в выборку обратно не возвращается. Необходимо заметить, что независимо от способа организации выборки она должна представлять собой уменьшенную копию генеральной совокупности, то есть быть представительной (репрезентативной).

Статистическое оценивание

 

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема n, причем значение признака х₁ наблюдается m₁ раз, х₂ m₂ раз,..., х_k наблюдается m_k раз, - объем выборки.

Мы можем сопоставить каждому значению x_i относительную частоту m_i/n.

Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака x_i и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) m_i (w_i).

Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило неизвестные, (средняя, дисперсия и др.) называют параметрами генеральной совокупности (обозначают, например, или , ). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р.

По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называют статистиками (обозначают , или , , выборочная доля обозначается w). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра - определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.

Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. ≈

Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: - выборочная дисперсия; - исправленная выборочная дисперсия[3]. - исчисляется при , а - при . Причем в математической статистике доказывается, что

или (7.1)

При больших объемах выборки и практически совпадают.

Генеральное среднее квадратическое отклонение так же имеет 2 точечные оценки: - выборочное среднее квадратическое отклонение и - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания при , а для оценивания , при ;при этом , а .

Ошибки выборки

 

Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: , либо .

Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.

(7.2)

где - средняя по совокупности выбранных единиц,

- средняя по генеральной совокупности,

- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой , можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.

Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки , гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной tи средней ошибкой выборки .

Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:

 

(7.3)

где Ф₀(t) - функция Лапласа.

 

Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³ 30 - в таблице значений Ф₀(t), а при n < 30 в таблице распределения t -Стьюдента. Неизвестное значение при расчете ошибки выборки заменяется

В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному:

Таблица 7.1