Показательное распределение. Условие нормировки.

Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:
Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b): . Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Также этому распределению подчиняется время ожидания клиента в системе массового обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F (t) = p (T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t) = p (T > t) = 1 – F (t). Эта функция называется функцией надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F (t) = 1 – e^-λt.

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид: R (t) = 1 – F (t) = 1 – (1 – e^-λt) = e^-λt.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R (t) = e^-λt, где λ – интенсивность отказов.

 

 

Показательное распределение. Математическое ожидание.

Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b): . Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

 

Математическое ожидание

Проводя интегрирование по частям и учитывая, что при x→∞ e^{- x} стремиться к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x, находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательное распределение. Дисперсия.

Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

Дисперсию случайной величины определяем по формуле:

 

Функции случайных величин. Примеры.

Пример ы одномерных величин. Число сокращений сердца за одну минуту, полученное при регистрации, - дискретная одномерная величина. Артериальное давление крови, зарегистрированное в данный момент времени, - значение одномерной непрерывной случайной величины.

Если каждому возможному значению случ.величины Х соответствует одно возможное значение случ. величины Y,то Y называют функцией случайного аргумента Х: Y = φ (X).

Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.

1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соответствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.

Пример 1. Ряд распределения для Х имеет вид: Х 5 6 7 8

р 0,1 0,2 0,3 0,4

Найдем закон распределения функции Y = 2 X ² - 3: Y 47 69 95 125

р 0,1 0,2 0,3 0,4

(при вычислении значений Y в формулу, задающую функцию, подставляются возможные значения Х).

2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

Пример 2. Ряд распределения для Х имеет вид: Х 0 1 2 3

р 0,1 0,2 0,3 0,4

Найдем закон распределения функции Y = X ² - 2 Х: Y -1 0 3

р 0,2 0,4 0,4

(так как Y = 0 при Х = 0 и Х = 2, то р (Y = 0) = р (Х = 0) + р (Х = 2) = 0,1 + 0,3 = 0,4).

 

Функции двух случайных величин. Примеры.

Минутный объём вентиляции легких определяется глубиной дыхания и частотой дыхательных движений. Аналогично, концентрация газов крови характеризуется двумя величинами: - напряжением кислорода и углекислоты в плазме крови. Это двумерные случайные величины.

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: Z = φ (X, Y).

Рассмотрим в качестве такой функции сумму Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.

1) Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.

Пример. Рассмотрим дискретные случ.величины X и Y, законы распределения которых имеют вид:

Х -2 1 3 Y 0 1 2

р 0,3 0,4 0,3 р 0,2 0,5 0,3

Найдем возможные значения Z: -2 + 0 = -2 (р = 0,3·0,2 = 0,06), -2 + 1 = -1 (р = 0,3·0,5 = 0,15),

-2 + 2 = 0 (р = 0,3·0,3 = 0,09), 1 + 0 = 1 (р = 0,4·0,2 = 0,08), 1 + 1 = 2 (р = 0,4·0,5 = 0,2),

1 + 2 = 3 (р = 0,4·0,3 = 0,12), 3 + 0 = 3 (р = 0,3·0,2 = 0,06), 3 + 1 = 4 (р = 0,3·0,5 = 0,15),

3 + 2 = 5 (р = 0,3·0,3 = 0,09).

Сложив вероятности повторившегося дважды значения Z = 3, составим ряд распределения для Z:

Z	-2	-1
р	0,06	0,15	0,09	0,08	0,2	0,18	0,15	0,09

Системы случайных величин. Примеры

Пусть на одном и том же вероятностном пространстве ( , F, P) задано n сл.величин

, , …, .

Совокупность сл. величин называется многомерной (n-мерной) сл.величиной, или (n-мерным) случайным вектором.

Пример. Широта X и долгота Y падения метеорита на Землю представляют собой двумерный сл. вектор . В эту модель можно ввести также третью координату Z – время от начала наблюдений до момента падения первого метеорита на Землю. Тогда получится трехмерный сл. вектор .

Пример. Успеваемость студента, окончившего курс обучения в вузе, характеризуется системой n сл. величин – оценками, проставленными в его дипломе.

Закон распределения дискретной двумерной сл.величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p (x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

Y	Х
x 1	x 2	…	xi	…	xn
y 1	p (x 1, y 1)	p (x 2, y 1)	…	p (xi, y 1)	…	p (xn, y 1)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p (x 1, yj)	p (x 2, yj)	…	p (xi, yj)	…	p (xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p (x 1, ym)	p (x 2, ym)	…	p (xi, ym)	…	p (xn, ym)

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной сл. величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х ₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x ₁, Y = y ₁), (X = x ₁, Y = y ₂),…, (X = x ₁, Y = y_m), поэтому

р (Х = х ₁) = p (x ₁, y ₁) + p (x ₁, y ₂) +…+ p (x ₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х ₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

Пример. Дан закон распределения двумерной сл.величины:

Y	X
-2
-0,8	0,1	0,3	0,1
-0,5	0,15	0,25	0,1

Найти законы распределения составляющих.

Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для Х:

Х	-2
р	0,25	0,55	0,2

Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:

Y	-0,8	-0,5
p	0,5	0,5

33).Метод наименьших квадратов — метод теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина прямой или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятности; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

При этом, если бы число уравнений равнялось числу неизвестных, то для каждой неизвестной получилась бы одна определенная величина; если же число уравнений больше числа неизвестных, то, вследствие ошибок наблюдений, результаты решений отдельных групп этих уравнений в различных сочетаниях оказываются не совсем согласными между собой.

Решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, т.е. даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

Пусть дано решить систему уравнений

ax + by + cz... + n = 0

a₁x + b₁y + c₁z... + n₁ = 0 (1)

a₂x + b₂y + c₂z... + n₂ = 0

...

число которых более числа неизвестных x, у, z... Чтобы решить их по способу н. квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые (нормальные) уравнения составляются так: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной х и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной у и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т.д. [aa] = a₁a₁ + a₂a₂ +...

[ab] = a₁b₁ + a₂b₂ +...

[ac] = a₁c₁ + a₂c₂ +...

...

[bb] = b₁b₁ + b₂b₂ +...

[bc] = b₁c₁ + b₂c₂ +...

...

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

[aa]x + [ab]y + [ac]z +... [an] = 0

[ab]x + [bb]y + [bc]z +... [bn] = 0 (2)

[ac]x + [bc]y + [cc]z +... [cn] = 0

Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т.д.

Для пояснения сказанного ниже приведено решение пяти урав-й с двумя неизвестными: 5x — 8y — 16 = 0

8x — y — 32 = 0

16x + 8y — 55 = 0

9x + 7y — 32 = 0

9x + 20y — 29 = 0

Составив значения [aa], [ab].., получаем следующие нормальные уравнения:

507x + 297у — 1765 = 0

297x + 358у — 1084 = 0,

откуда х = +3,545; у = —0,108. Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, т.е. уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному.

34) Основы математической статистики (примеры).

Мат. статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача мат.статистики – указать способы получения, группировки и обработки стат. данных, собранных в результате наблюдений, поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача мат.статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования.

Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения сл.величины;

- оценка неизвестной функции распределения сл.величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости сл.величины от одной или нескольких сл.величин и т.д.

Сл.величину будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности являются стат. данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение сл.величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор независимых в совокупности сл.величин , где соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число называется объёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .

В основе большинства результатов мат.статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.