Общее определение вероятности. Классическое определение вероятности.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятностью события. Вероятность события A обозначается P(A). Так как событие есть множество, то вероятность события есть функция множества. Вероятности событий удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Если A и B несовместные события, то

Вторая аксиома обобщается на любое число событий: если события А_i и A_j попарно несовместны для всех i≠j

События A₁, A_2, …, A_n называют равновозможными если P(A₁)=P(A₂)= … =P(A_n).

Если в каком-то опыте пространство элементарных событий Ω можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий ω₁, ω₂, …, ω_n, то такие события называются случаями, а сам опыт сводится к схеме случаев.

Случай ω_i называется благоприятным событием A, если он является элементом множества A: .

Классическое определение вероятност и: вероятность события определяется по формуле

, где n - число элементарных равновозможных исходов данного опыта;

m - число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.

 

Вероятность суммы событий

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A + B, A È B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно(другими словами логическое ИЛИ). В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событии, безразлично какого.(Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий  = { ₁,  ₂,  ₃, ₄,  ₅, ₆}, где элементарное событие  _i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = { ₂, ₄, ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = { ₅,  ₆}.

Событие A + B = { ₂, ₄,  ₅,  ₆} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B .)

 

Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Если события A и B несовместны, то .

 

Свойства несовместных событий.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно(Например, выпадение и "решки", и "орла" при бросании монеты).

Событие А' называется противоположным событию А, если не произошло событие А.

(Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события).
Свойства случайных событий

1.Теорема (сложение вероятностей несовместных случайных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий и равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно ; событию благоприятствуют элементарных событий, событию — элементарных событий. Так как и – несовместные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию , и событию . Следовательно, событию будет благоприятствовать элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем

2.Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. По определению противоположных событий имеем , где — достоверное событие: и несовместны. Отсюда