Равномерное, показательное и нормальное распределение и их характеристики.

o Говорят, что случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b], если она непрерывна и имеет плотность вероятности:

 

 

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины X.

Примером равномерно распределенной случ-й вел-ны может служить Х-координата точки, науд. брошенной на [a, b].

o Говорят, что случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром λ>0, если она непрерывна и имеет плотность распределения

; обозначают Х~M(λ).

Функция распределения показательно распределенной случайной величины Х.

 

o Говорят, что случайная величинf Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G², если она непрерывна и имеет плотность . Обозначение Х~N(a, G²), те Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G².

График плотности нормально распределенной случайной величины имеет вид:

o Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины Х с плотностью p(x) называется число при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

o Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется число . Если случайная величина имеет плотность p(x), .

Математическоеожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, что и для дискретных случайных величин.

 

 

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕД-НИИ. КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИН.

Теорема 1. Если случайная величина Х имеет нормальное стандартное распределение с параметрами (a, G²), то случайная величина имеет нормальное распределение, т.е. .

.

Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин).

Для того чтобы дискретные случайные величины Х₁,…,Х_n были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х₁, Х₂,…,Х_n были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х₁,…,Х_n, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х₁,…,Х_n

 

Случайный вектор. Св-ва функции распред-я случ вектора.

o Вектор , где —случайные величины, называются n- мерным случайным вектором.

Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IRⁿ в n-мерное действительное пространство IRⁿ.

o Функция

называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .

Свойства функции распределения случайного вектора.

Свойство 1. .

Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.

Пусть x₁<y₁, тогда событие .

Тогда . По свойству вероятности если , то , получим . Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.

Свойство 3. .

Свойство 4.

.

 

Дискрет и непрерывный случ вектор. Св-ва плотности распределения

o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.

o Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения .

Свойства плотности распределения случайного вектора.

Свойство 1.

Свойство 2. Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем

Свойство 3. , где —множество из пространства IRⁿ.

 

 

Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация, корреляция. Ассиметрия и эксцесс.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: .

o Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число,

где

.

o Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число.

Свойства корреляции.

Свойство 1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

Свойство 2. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

Свойство 3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Пусть Х и Y—независимы, тогда по свойству математического ожидания Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

o Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

o Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число

Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

 

o Эксцессом случайной величины Х называется число .

Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.

 

24. Задачи мат.статистики

1)указать сп-бы сбора и группировки стат-х сведений, полученных в рез-те наблюдений или экспериментов.

2)разработать методы анализа стат-х данных в зав-сти от информации.

Пусть необходимо изучить сов-сть однородных объектов относительно некоторого кач-го или колич-го признака, характер-щего объект. Выборка -сов-ть случайно отобранных объектов. Генеральная сов-ть – сов-ть объектов, из которых производится выборка. Объем сов-сти – число объектов сов-сти.

Выборка должна быть репрезентативной.

Пусть можно произвести измерение случ-й величины Х. В п экспериментах результаты измерений х1,х2…хп – некоторые числа. Пусть вып-ся предпосылки:

1.Эксперименты проводят в одинаковых условиях.

2.Эксперименты проводят независимо др.отдруга.

Опр: говорят, что рез-ты п экспериментов х1…хп образуют конкретную выборку объема п из генеральной сов-сти случ-й величины Х, если вып-ся предпосылки 1 и 2.

Величину Х наз-т теоретической случайной.

Пусть треб-ся произвести измерения п случайных величин х1,..хп. Если производить изм-ния сериями, то рез-ты: Х1(1)….Хп(1)-1 серия; Х1(2)…Хп(2)- 2 серия; Х1(к)…Хп(к)-к серия.

Тогда случайные величины Х1…Хп – абстрактные рез-ты измерений, т.е. полученные до того, как их провели.

Из 1й предпосылки – случайные величины Х1…Хп одинаково распределены и имеют закон распределения, совпадающий с законом распр-я теоретической случ. величины. Из 2й предп – случайные величины независимы.

Опр: говорят, что независимые случ.величины х1,..хп образуют абстрактную выборку объема п, если они незав. и одинаково распределены.

Опр: функция распр-я F(x) случ-й величины наз. теоретической функцией распределения.