Дискретные случ.величины. Закон распределения

o Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно.

o Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (х_i, р_i), где x_i—возможные значения случайной величины, а p_i—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. , причем

Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возм-е значения случайной величины и соотв-щие им вероятности.

X	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

Табл. называется рядом распр-я дискр-й сл-й вел-ны.

Ряд распределения можно изобразить граф-ки. В этом случае по Ох откладывают значения x_i, а по Оу —вер-сти p_i. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную, к-я является одной из форм задания закона распределения дискретной величины.

o Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями .

X			…	K	…	n
P			…		…	p^n

o Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

.

X			…	k	…
P			…		…

 

 

Обозначим через X дискретную случайную величину—число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями случайной величины Х являются натуральные числа.

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступало, а в k-ом испытании появилось. Вероятность этого события

o Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями , где q=1-p.

 

X			…	k	…
Р	p	qp	…	q^k-1p	…

.

 

 

Математическое ожидание

Свойство 1. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

Свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает 1 возможное значение С, с вер-тью =1. Следовательно, .

Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).

Случайные величины X₁,X₂,…,X_n называются независимыми, если для любых числовых множеств B₁,B₂,…,B_n 3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Следствие. Мат.ожидание произведения нескольких взаимно незав-х случ-х величин равно произведению их мат. ожиданий.

4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:.

Следствие. Мат. ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Дисперсия

o Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

o Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна 0.DC=0.

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.