Некоторые основные законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Случайная величина X непрерывного типа называется равномерно распределенной на отрезке [ a, b ] (подчиняется закону R (a, b)), если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

(1.43)

При этом для M (X), D (X), s(X) справедливы формулы:

(1.44)

Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке [ a, b ] (X – абсцисса поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (здесь X – ошибка округления).

Равномерное распределение имеют ошибки грубых измерений при помощи инструментов с крупными делениями, когда измеренное значение округляется до ближайшего целого (или до ближайшего меньшего, или до ближайшего большего). Например, ошибка (в см) измерения длины с помощью линейки с сантиметровыми делениями имеет равномерное распределение на участке , если округление производится до ближайшего целого, и на участке [0; 1], если до ближайшего меньшего. Также равномерное распределение имеет ошибка (в мин.) указания времени часами со скачущей минутной стрелкой . К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, можно отнести также время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом [0, Т ], угол поворота j хорошо уравновешенного колеса, если оно приводится во вращение и останавливается в результате трения.

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(1.45)

где l – параметр распределения, l > 0.

Числовые характеристики СВ Х, имеющей показательное распределение вычисляются по формулам:

(1.46)

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (время ожидания при техническом обслуживании, длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции и др.), а также в теории надежности (срок безотказной работы радиоэлектронной аппаратуры).

Если имеется простейший поток событий с интенсивностью l, то величина интервала времени T между двумя соседними событиями имеет показательное распределение с параметром l.

Нормальное распределение

Непрерывная СВ X имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид:

(1.47)

где a и s – параметры нормального распределения, s > 0.

Функция распределения нормально распределенной СВ X определяется формулой:

(1.48)

Числовые характеристики M (X) и D (X) соответственно равны:
M (X) = a, D (X) = s².

Важную роль в теории играет центрированная и нормированная СВ X, для которой a = 0, s = 1. Иногда такое распределение СВ X называется стандартным. Плотность распределения нормальной стандартной СВ обозначается j(x), где

(1.49)

Функция распределения стандартной СВ X имеет вид:

(1.50)

и называется функцией Лапласа.

Для удобства вычислений вводят функцию

(1.51)

также называемую функцией Лапласа или нормированной функцией Лапласа.

Эти две функции связаны соотношениями:

(1.52)

Функция Лапласа F(X) обладает свойствами:

1) Ф(0) = 0, 2) Ф(– x) = – Ф(x) (нечетная функция); 3) Ф(+¥) = 0,5.

График плотности распределения вероятности нормально распределенной СВ X называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 3

Вероятность попадания значений СВ X, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, на участок (x ₁; x ₂)выражается формулой:

(1.53)

Если участок (a, b) симметричен относительно a, то вероятность попадания в него

(1.54)

где – половина длины участка.

Нормальное распределение имеет исключительно важное значение в теории вероятностей.

Нормальному закону подчиняются, при определенных условиях, ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, ошибки стрельбы, величина шума в радиоприемном устройстве.

Главная особенность нормального закона распределения состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения.

Например, при обработке деталей на станке-автомате, отклонение размеров деталей от номинального вызывается многими причинами. К ним относятся: колебание режима обработки, неточности установки и базировки деталей в приспособлении, износ режущего инструмента, неоднородность обрабатываемого материала, износ деталей станка и т. д. Каждая из этих причин влияет на размер деталей. Поэтому отклонение фактического размера детали от нормального можно представить как сумму большого числа отклонений, вызванных перечисленными выше причинами. Если слагаемые отклонения примерно одного порядка, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей распределение, асимптотически приближающееся к нормальному.

Условия, при которых эти случайные величины и асимптотически нормальны, составляют содержание различных формулировок центральной предельной теоремы для одинаково распределенных и различно распределенных случайных величин.

Теорема 1. Если случайные величины X ₁, X ₂, …, X_n независимы, одинаково распределены и имеют конечные M (X_i) = a и D (X_i) = s² > 0, то

Теорема 2(Ляпунова). Если случайные величины X ₁, X ₂, …, X_n независимы и имеют конечные M (X_i) = a_i, тогда

где если