Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величинСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Пример 1. Заданы законы распределения двух независимых величин X и Y:
Найти законы распределения случайных величин Z = X – Y и W = XY. Решение. Найдем возможные значения случайной величины Z. Для этого определим zij = xi – yj и расположим найденные значения в порядке возрастания: z 11 = x 1 – y 1 = 0, z 12= 1 – 2= –1, z 21= 2 – 1= 1, z 22= 2 – 2= 0, z 31= 3 – 1= 2, z 32= 3 – 2= 1, z 12= 1 – 2= –1, z 1= –1, z 2= 0, z 3= 1, z 4= 2. Определим соответствующие им вероятности: p 1 = P (Z = –1) = P (X = 1, Y = 2) = P ((X = 1) × (Y = 2)) = = P (X = 1) × (Y = 2) = 0,3 × 0,4 = 0,12; p 2 = P (Z = 0) = P ((X = 1, Y = 1) + (X = 2, Y = 2)) = = P (X = 1) × P (Y = 1) + P (X = 2) × P (Y = 2) = 0,3 × 0,6 + 0,5× 0,4 = 0,38; p 3 = P (Z = 1) = P ((X = 2, Y = 1) + (X = 3, Y = 2)) = = P (X = 2) × P (Y = 1) + P (X = 3) × P (Y = 2) = 0,5 × 0,6 + 0,2× 0,4 = 0,38; p 4 = P (Z = 2) = P (X = 3, Y = 1) = P (X = 3) × P (Y = 1) = 0,2 × 0,6 = 0,12. При вычислении вероятностей pi используются правила вычисления вероятностей произведения независимых событий и суммы несовместных событий. Ряд распределения СВ Z имеет вид:
Контроль: Аналогично находим ряд распределения случайной величины Найдем wij = xiyj: w 11 = 1 × 1 = 1, w 12 = 1 × 2 = 2, w 21 = 2 × 1 = 2, w 22 = 2 × 2 = 4, w 31 = 3 × 1 = 3, w 32 = 3 × 2 = 6. Тогда w 1 = w 11 = 1, w 2 = w 21 = w 12 = 2, w 3 = w 31 = 3, w 4 = w 22 = 4, p 1 = P (W = 1) = P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) × (Y = 1) = 0,3 × 0,6 = 0,18; p 2 = P (W = 2) = P ((X = 1, Y = 2) + (X = 2, Y = 1)) = = P (X = 1) × P (Y = 2) + P (X = 2) × P (Y = 1) = 0,3 × 0,4 + 0,5× 0,6 = 0,42; p 3 = P (W = 3) = P (X = 3, Y = 1) = P (X = 3) × P (Y = 1) = 0,2× 0,6 = 0,12; p 4 = P (W = 4) = P (X = 2, Y = 2) = P (X = 2) × P (Y = 2) = 0,5 × 0,4 = 0,20; p 5 = P (W = 6) = P (X = 3, Y = 2) = P (X = 3) × P (Y = 2) = 0,2 × 0,4 = 0,08. Ряд распределения СВ W имеет вид:
Контроль:
Пример 2. Задана таблица распределения двумерной случайной величины (X, Y):
Определить: а) безусловные законы распределения СВ X и Y; б) функцию распределения F (x; y) двумерной СВ (X; Y); в) P (X ≤ Y); г) условный закон распределения СВ Y при X = x 2 и M ; д) зависимость или независимость компонент X и Y; е) центр рассеивания: точку (M (X); M (Y)); ж) закон распределения случайной величины Z = XY; з) коэффициент корреляции rxy. Решение. а) Суммируя вероятности в первой и второй строках таблицы, найдем вероятности возможных значений СВ X: x 1 = 1 и x 2 = 2. P (X = x 1) = P (X = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,25 = 0,6; P (X = x 2) = P (X = 2) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4. Суммируя вероятности в каждом из столбцов таблицы, определим вероятности соответствующих значений СВ Y: y 1 = –1, y 2 = 1, y 3 = 2: P (Y = y 1) = P (Y = –1) = 0,15 + 0,2 = 0,35; P (Y = y 2) = P (Y = 1) = 0,2 + 0,1 = 0,3; P (Y = y 3) = P (Y = 2) = 0,25 + 0,1 = 0,35. Законы распределения СВ X и Y имеют вид:
б) Функцию распределения заданной двумерной СВ (X; Y) найдем, используя формулу (1.60) Если x ≤ 1 или y ≤ –1, то F (x; y) = 0 (события (X < x) или (Y < y) при этом являются невозможными). Если 1 < x ≤ 2 и –1 < y ≤ 1, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) = 0,15. Если 1 < x ≤ 2 и 1 < y ≤ 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 1; Y = 1) = Если 1 < x ≤ 2 и y > 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 1; Y = 1) + Если x > 2 и –1 < y ≤ 1, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) = Если x > 2 и 1 < y ≤ 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) + Если x > 2 и y > 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) + Таким образом, функцию распределения данной системы дискретных случайных величин можно задать таблицей
в) P (X ≤ Y)= P (X = 1; Y = 1) + P (X = 1; Y = 2) + P (X = 2; Y = 2) = 0,2 + г) Условные вероятности значений СВ Y при X = x 2 найдем по формуле (1.63) P (X = x 2) = (X = 2) = 0,4;
Таким образом условный закон распределения СВ Y при X = 2 имеет вид
д) Так как безусловный и условный законы распределения СВ Y не совпадают, то случайные величины X и Y зависимы. (В этом можно было убедиться и другим способом: P (X = 2; Y = 1) =0,1; P (X = 2) × P (Y = 1) = е) Используя найденные законы распределения составляющих X и Y вычислим M (X) и M (Y): M (X) = 1 × 0,6 + 2 × 0,4 = 1,4; M (Y) = 1 × 0,35 + 1 × 0,3 + 2 × 0,35 = 0,65. Точка (1,4; 0,65) – центр рассеивания двумерной случайной величины (X; Y). ж) Так как случайные величины X и Y зависимы, то удобнее находить закон распределения случайной величины Z = XY по закону распределения двумерной СВ (X; Y). Возможные значения случайной величины Z: z 1 = –2, z 2 = –1, z 3 = 1, z 4 = 2, z 5 = 4. Определим соответствующие им вероятности: p 1 = P (Z = –2) = P (X = 2; Y = –1) = 0,2; p 2 = P (Z = –1) = P (X = 1; Y = –1) = 0,15; p 3 = P (Z = 1) = P (X = 1; Y = 1) = 0,2; p 4 = P (Z = 2) = P (X = 2; Y = 1) + P (X = 1; Y = 2)= 0,1 + 0,25 = 0,35; p 5 = P (Z = 4) = P (X = 2; Y = 2) = 0,1. Ряд распределения СВ Z имеет вид:
з) Коэффициент корреляции rXY найдем по формуле (1.74) используя для определения корреляционного момента KXY соотношение (1.72) KXY = M (XY) – M (X) × M (Y). M (XY) = M (Z) = –2 × 0,2 – 1 × 0,15 + 1 × 0,2 + 2 × 0,35 + 4 × 0,1 = –0,4 – 0,15 + (M (XY) можно также находить по формуле (1.73) При этом M (XY) = 1(–1) × 0,15 + 2(–1) × 0,2 + 1 × 1 × 0,2 + 2 × 1 × 0,1 + Так как M (X) =1,4 и M (Y) = 0,65, то KXY = 0,75 – 1,4 × 0,65 = 0,75 – 0,91 = Вычисляем средние квадратические отклонения составляющих по формулам Так как законы распределения случайных величин X 2 и Y 2 имеют вид:
то M (X 2) = 1 × 0,6 + 4 × 0,4 = 0,6 + 1,6 = 2,2; D (X) = 2,2 – (1,4)2 = 2,2 – 1,96 = 0,24; M (Y 2) = 1 × 0,65 + 4 × 0,35 = 0,65 + 1,4 = 2,05; D (Y) = 2,05 – (0,65)2 = 2,05 – 0,4225 = 1,5275;
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 214; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.9.9 (0.01 с.) |