Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин

Поиск

Пример 1. Заданы законы распределения двух независимых величин X и Y:

xi       и yi    
pi 0,3 0,5 0,2 pi 0,6 0,4

Найти законы распределения случайных величин Z = XY и W = XY.

Решение. Найдем возможные значения случайной величины Z. Для этого определим zij = xiyj и расположим найденные значения в порядке возрастания:

z 11 = x 1y 1 = 0, z 12= 1 – 2= –1, z 21= 2 – 1= 1, z 22= 2 – 2= 0, z 31= 3 – 1= 2,

z 32= 3 – 2= 1, z 12= 1 – 2= –1, z 1= –1, z 2= 0, z 3= 1, z 4= 2.

Определим соответствующие им вероятности:

p 1 = P (Z = –1) = P (X = 1, Y = 2) = P ((X = 1) × (Y = 2)) =

= P (X = 1) × (Y = 2) = 0,3 × 0,4 = 0,12;

p 2 = P (Z = 0) = P ((X = 1, Y = 1) + (X = 2, Y = 2)) =

= P (X = 1) × P (Y = 1) + P (X = 2) × P (Y = 2) = 0,3 × 0,6 + 0,5× 0,4 = 0,38;

p 3 = P (Z = 1) = P ((X = 2, Y = 1) + (X = 3, Y = 2)) =

= P (X = 2) × P (Y = 1) + P (X = 3) × P (Y = 2) = 0,5 × 0,6 + 0,2× 0,4 = 0,38;

p 4 = P (Z = 2) = P (X = 3, Y = 1) = P (X = 3) × P (Y = 1) = 0,2 × 0,6 = 0,12.

При вычислении вероятностей pi используются правила вычисления вероятностей произведения независимых событий и суммы несовместных событий.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

zi –1      
pi 0,12 0,38 0,38 0,12

Контроль:

Аналогично находим ряд распределения случайной величины
W = X × Y.

Найдем wij = xiyj: w 11 = 1 × 1 = 1, w 12 = 1 × 2 = 2, w 21 = 2 × 1 = 2,

w 22 = 2 × 2 = 4, w 31 = 3 × 1 = 3, w 32 = 3 × 2 = 6.

Тогда w 1 = w 11 = 1, w 2 = w 21 = w 12 = 2, w 3 = w 31 = 3, w 4 = w 22 = 4,
w 5 = w 32 = 6.

p 1 = P (W = 1) = P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) × (Y = 1) = 0,3 × 0,6 = 0,18;

p 2 = P (W = 2) = P ((X = 1, Y = 2) + (X = 2, Y = 1)) =

= P (X = 1) × P (Y = 2) + P (X = 2) × P (Y = 1) = 0,3 × 0,4 + 0,5× 0,6 = 0,42;

p 3 = P (W = 3) = P (X = 3, Y = 1) = P (X = 3) × P (Y = 1) = 0,2× 0,6 = 0,12;

p 4 = P (W = 4) = P (X = 2, Y = 2) = P (X = 2) × P (Y = 2) = 0,5 × 0,4 = 0,20;

p 5 = P (W = 6) = P (X = 3, Y = 2) = P (X = 3) × P (Y = 2) = 0,2 × 0,4 = 0,08.

Ряд распределения СВ W имеет вид:

wi          
pi 0,18 0,42 0,12 0,20 0,08

Контроль:

 

Пример 2. Задана таблица распределения двумерной случайной величины (X, Y):

Y X –1    
  0,15 0,2 0,25
  0,2 0,1 0,1

Определить: а) безусловные законы распределения СВ X и Y;

б) функцию распределения F (x; y) двумерной СВ (X; Y);

в) P (XY);

г) условный закон распределения СВ Y при X = x 2 и M ;

д) зависимость или независимость компонент X и Y;

е) центр рассеивания: точку (M (X); M (Y));

ж) закон распределения случайной величины Z = XY;

з) коэффициент корреляции rxy.

Решение. а) Суммируя вероятности в первой и второй строках таблицы, найдем вероятности возможных значений СВ X: x 1 = 1 и x 2 = 2.

P (X = x 1) = P (X = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,25 = 0,6;

P (X = x 2) = P (X = 2) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4.

Суммируя вероятности в каждом из столбцов таблицы, определим вероятности соответствующих значений СВ Y: y 1 = –1, y 2 = 1, y 3 = 2:

P (Y = y 1) = P (Y = –1) = 0,15 + 0,2 = 0,35;

P (Y = y 2) = P (Y = 1) = 0,2 + 0,1 = 0,3;

P (Y = y 3) = P (Y = 2) = 0,25 + 0,1 = 0,35.

Законы распределения СВ X и Y имеют вид:

xi     , yi –1     .
pi 0,6 0,4 pi 0,35 0,3 0,35

б) Функцию распределения заданной двумерной СВ (X; Y) найдем, используя формулу (1.60)

Если x ≤ 1 или y ≤ –1, то F (x; y) = 0 (события (X < x) или (Y < y) при этом являются невозможными).

Если 1 < x ≤ 2 и –1 < y ≤ 1, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) = 0,15.

Если 1 < x ≤ 2 и 1 < y ≤ 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 1; Y = 1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если 1 < x ≤ 2 и y > 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 1; Y = 1) +
+ P (X = 1; Y = 2) = 0,6.

Если x > 2 и –1 < y ≤ 1, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если x > 2 и 1 < y ≤ 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) +
+ P (X = 1; Y = 1) + P (X = 2; Y = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,2 + 0,1 = 0,65.

Если x > 2 и y > 2, то F (x; y) = P (X = 1; Y = –1) + P (X = 2; Y = –1) +
+ P (X = 1; Y = 1) + P (X = 2; Y = 1) + P (X = 1; Y = 2) + P (X = 2; Y = 2) = 0,15 + + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,25 + 0,1= 1.

Таким образом, функцию распределения данной системы дискретных случайных величин можно задать таблицей

F (x; y) = при y ≤ –1 –1 < y ≤ 1 1 < y ≤ 2 y > 1
x ≤ 1        
1 < x ≤ 2   0,15 0,35 0,6
x > 2   0,35 0,65  

в) P (XY)= P (X = 1; Y = 1) + P (X = 1; Y = 2) + P (X = 2; Y = 2) = 0,2 +
+ 0,25 + 0,1 = 0,55.

г) Условные вероятности значений СВ Y при X = x 2 найдем по формуле (1.63)

P (X = x 2) = (X = 2) = 0,4;

Таким образом условный закон распределения СВ Y при X = 2 имеет вид

yj –1    
0,5 0,25 0,25

 

д) Так как безусловный и условный законы распределения СВ Y не совпадают, то случайные величины X и Y зависимы. (В этом можно было убедиться и другим способом: P (X = 2; Y = 1) =0,1; P (X = 2) × P (Y = 1) =
= 0,4 × 0,3 = 0,12; 0,1 ¹ 0,12).

е) Используя найденные законы распределения составляющих X и Y вычислим M (X) и M (Y):

M (X) = 1 × 0,6 + 2 × 0,4 = 1,4; M (Y) = 1 × 0,35 + 1 × 0,3 + 2 × 0,35 = 0,65.

Точка (1,4; 0,65) – центр рассеивания двумерной случайной величины (X; Y).

ж) Так как случайные величины X и Y зависимы, то удобнее находить закон распределения случайной величины Z = XY по закону распределения двумерной СВ (X; Y).

Возможные значения случайной величины Z:

z 1 = –2, z 2 = –1, z 3 = 1, z 4 = 2, z 5 = 4.

Определим соответствующие им вероятности:

p 1 = P (Z = –2) = P (X = 2; Y = –1) = 0,2;

p 2 = P (Z = –1) = P (X = 1; Y = –1) = 0,15;

p 3 = P (Z = 1) = P (X = 1; Y = 1) = 0,2;

p 4 = P (Z = 2) = P (X = 2; Y = 1) + P (X = 1; Y = 2)= 0,1 + 0,25 = 0,35;

p 5 = P (Z = 4) = P (X = 2; Y = 2) = 0,1.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

zi –2 –1      
pi 0,2 0,15 0,2 0,35 0,1

з) Коэффициент корреляции rXY найдем по формуле (1.74)

используя для определения корреляционного момента KXY соотношение (1.72)

KXY = M (XY) – M (X) × M (Y).

M (XY) = M (Z) = –2 × 0,2 – 1 × 0,15 + 1 × 0,2 + 2 × 0,35 + 4 × 0,1 = –0,4 – 0,15 +
+ 0,2 + 0,7 + 0,4 = 0,75.

(M (XY) можно также находить по формуле (1.73) При этом M (XY) = 1(–1) × 0,15 + 2(–1) × 0,2 + 1 × 1 × 0,2 + 2 × 1 × 0,1 +
+ 1 × 2 × 0,25 + 2 × 2 × 0,1 = –0,15 – 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,75.)

Так как M (X) =1,4 и M (Y) = 0,65, то KXY = 0,75 – 1,4 × 0,65 = 0,75 – 0,91 =
= – 0,16.

Вычисляем средние квадратические отклонения составляющих по формулам

Так как законы распределения случайных величин X 2 и Y 2 имеют вид:

    и     ,
pi 0,6 0,4 pj 0,65 0,35

то M (X 2) = 1 × 0,6 + 4 × 0,4 = 0,6 + 1,6 = 2,2;

D (X) = 2,2 – (1,4)2 = 2,2 – 1,96 = 0,24;

M (Y 2) = 1 × 0,65 + 4 × 0,35 = 0,65 + 1,4 = 2,05;

D (Y) = 2,05 – (0,65)2 = 2,05 – 0,4225 = 1,5275;



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 214; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.9.9 (0.01 с.)