Непрерывные и смешанные случайные величины

Многие случайные величины не являются дискретными, например: время безотказной работы прибора, погрешность измерения некоторой величины, расстояние от точки попадания до центра мишени, дальность обнаружения объекта радиолокатором. У всех этих СВ множество возможных значений, совпадает с некоторым промежутком числовой прямой.

Если функция распределения F (x) СВ X при любом x непрерывна и, кроме того, имеет производную везде, кроме, может быть, отдельных точек разрыва первого рода, то случайная величина называется непрерывной.

Если функция распределения F (x) на некоторых участках непрерывно возрастает, а в отдельных точках имеет разрывы I рода, то случайная величина называется смешанной. Функция F (x) для смешанной случайной величины, как и для дискретной, непрерывна слева.

Для непрерывной СВ X вероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения равна нулю

P (X = x) = 0 (1.9)

и справедливо утверждение

P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = F (b) – F (a). (1.10)

Для смешанной случайной величины вероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения, принадлежащего участку непрерывности F (x), также равна нулю, а вероятность принятия случайной величиной каждого из тех значений x ₁, x ₂, …, в которых функция F (x) совершает скачки, численно равна значениям соответствующих скачков.

Плотностью распределения вероятности (или плотностью распределения или дифференциальной функцией распределения) непрерывной СВ X называется такая неотрицательная кусочно-непрерывная функция f (x) (P_X (x)), что при любых x Î R выполняется равенство

(1.11)

Для любой непрерывной СВ существует плотность распределения. Отметим важные свойства плотности распределения:

1) (1.12)

2) (1.13)

в точках непрерывности .

Для непрерывной СВ X с плотностью распределения f (x)

(1.14)

Операции над дискретными случайными величинами

Пусть заданы две дискретные случайные величины: СВ X, принимающая значения x_i с вероятностями p_i = P (X = x_i), i = 1, 2, …, n и СВ Y, принимающая значения y_j c вероятностями p_j = P (Y = y_j), j = 1, 2, …, m.

Суммой (разностью, произведением) этих случайных величин называется дискретная СВ Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X × Y), принимающая значения z_ij = x_i + y_j (z_ij = x_i – y_j; z_ij = x_i × y_j) с вероятностями p_ij = P (X = x_i; Y = y_j) для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм x_i + y_j (разностей x_i – y_j, произведений x_i × y_j) соответствующие вероятности складываются.

Произведением дискретной СВ X на число с называется дискретная случайная величина сX, принимающая значения сx_i с вероятностями
p_i = P (X = x_i).

Аналогично определяются сумма и произведение любого конечного числа дискретных случайных величин.

Две дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если события (X = x_i) = A_i и (Y = y_j) = B_j независимы для любых i = 1, 2, …, n и j = 1, 2, …, m, то есть

P (X = x_i; Y = y_j) = P (X = x_i) × P (Y = y_j). (1.15)

В противном случае СВ X и СВ Y называются зависимыми. Несколько дискретных случайных величин называются взаимно независимыми (независимыми в совокупности), если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако при решении практических задач полезно знать некоторые числовые параметры, характеризующие существенные черты закона распределения случайной величины, ее числовые характеристики.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание М (X), мода М ₀(X), медиана М_Д (X) и др.; характеристики рассеивания: дисперсия D (X), среднее квадратическое отклонение s(X) и др.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной СВ X называется сумма произведений всех ее возможных значений x_i на соответствующие им вероятности p_i:

(1.16)

Если множество возможных значений СВ X счетно, то сумма, стоящая в правой части равенства будет представлять собой числовой ряд. Математическое ожидание таких СВ X будет существовать, если ряд сходится абсолютно.

Математическим ожиданием непрерывной СВ X с плотностью вероятности f(x) называется число

. (1.17)

Интеграл в правой части равенства (1.17) должен абсолютно сходиться (в противном случае для непрерывной СВ X М (X) не определено).

Математическое ожидание смешанной случайной величины с функцией распределения F (x) вычисляется по формуле

,

где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл – на все участки ее непрерывности.

Математическое ожидание СВ X любого типа характеризует среднее ожидаемое значение СВ X.