Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Частные производные функций двух переменных.
Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y). Частной производной функции двух переменных z = f(x, y) по х в точке (х, у) называется предел , если он существует. Частная производная есть обычная производная от функции f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированном у. Аналогично определяется частная производная по у в точке (х,у): . Если у функции существует частная производная снова по переменной х, то ее называют частной производной второго порядка от функции f(x,y) по переменной х и обозначают . Таким образом, . Аналогично для переменной у: . Если существует частная производная от функции по переменной у, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции z = f(x, y) и обозначают . В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что если функция двух переменных определена вместе со своими частными производными в окрестности некоторой точки, причем смешанные частные производные непрерывны в этой точке, то в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, т. е. . ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y). Если эта функция дифференцируема в точке (х,у), то для нее существует производная по направлению любого единичного вектора ` n0 = (Cosa, Cosb), выражаемая формулой , где a и b - углы, которые вектор ` n0 составляет с осями х и у. Если же необходимо найти производную по направлению произвольного вектора ` n = a`i + в`j, то его необходимо сначала пронормировать и найти направляющие косинусы по формулам а потом воспользоваться приведенной выше формулой. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х0, у0) называется вектор grad z, координаты которого равны частным производным функции z = f(x, y), вычисленным в точке М(х0, у0) . ЗАДАЧА № 9 Найти частные производные функции z = f(x,y):
ЗАДАЧА № 10 Найти градиент и производную по направлению
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ При изучении дифференцированного исчисления решалась следующая задача: дана функция F(x), найти ее производную F¢(x) (в дальнейшем производную F¢(x) будем обозначать f(x)). Интегральное исчисление решает задачу обратную: для непрерывной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы тождественно равна функции f(x). Функция F(x) называется первообразной, f(x) - подынтегральной. Ясно, что если F¢(x) = f(x), то и [F¢(x) + C]¢ = f(x). Здесь С - произвольная постоянная величина.
Определение: Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, производная которой равна подынтегральной функции f(x), т.е. = F(x) + C, если [F(x) + C]¢ = f(x). Подынтегральное выражение f(x)dx есть дифференциал для всех первообразных, т.е. d[F(x) + C] = f(x)dx. Из определения следует, что процесс нахождения неопределенного интеграла сводится к нахождению первообразной данной функции. Вообще, используя таблицу производных, можно составить таблицу основных интегралов:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. , т.е. знаки d и ò, стоящие перед некоторой функцией, друг друга уничтожают. Так . 2. , т.е. постоянный множитель можно выносить за знаки интеграла. 3. , т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторых функций равен сумме интегралов от этих функций. ЗАДАЧА № 11 Найти неопределенный интеграл . = МЕТОД ПОДСТАНОВКИ Метод заключается в том, что вместо переменной x вводят новую переменную, например t. Так, если положить х = j(t), то Получаемый интеграл должен быть значительно проще данного. В противном случае следует искать другую форму введения новой переменной. Часто переменную t вводят так: t = j(x), а dt = j¢(x)dx. Это удобно, если данное подынтегральное выражение содержит дифференциал j¢(x)dx. ЗАДАЧА № 12 Найти неопределенный интеграл . = ЗАДАЧА № 13 Найти неопределенный интеграл . . ЗАДАЧА № 14 Найти неопределенный интеграл . = ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Идея метода состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx нужно представить в виде произведения U*dV, где U(x) и V(x) - дифференцируемые функции и воспользоваться формулой . При этом вновь полученный интеграл должен быть проще данного. ЗАДАЧА № 15 Найти неопределенный интеграл . = ЗАДАЧА № 16
Найти неопределенный интеграл . =
|
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 4897; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.224.124.217 (0.03 с.) |