Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми у = 0, х = в. Пусть эта трапеция вращается вокруг оси Ох. Тогда объем тела вращения вычисляется по формуле .

Если фигура, ограниченная кривыми y = f₁(x); y = f₂(x) (0 ≤ f₁(x) ≤ f₂(x)) и прямыми х = а, х = в, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения .

Рассмотрим криволинейную трапецию х = j(у), х = 0, у = 1, у = d. Объем тела вращения, полученного путем вращения этой трапеции вокруг оси Оу, .

ЗАДАЧА № 21

Найти объем тела вращения

		Х

 

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S₁ , S₂,..., S_n и диаметры d₁,d₂,..., d_n (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_i(x_i, y_i) и составим следующую сумму:

.

Такая сумма называется интегральной суммой.

Определение:

Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n ® и наибольший диаметр max d_k ® 0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит:

1) ни от способа разбиения области Д на элементарные области;

2) ни от способа выбора в них точек Р_i

.

Если f(x, y) > 0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Существуют два основных вида области интегрирования:

1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,

х = в (а < в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = j₁(х) и у =j₂(х)

(j₁(х) £ j₂(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).

	У
				у = j(х)

 

 

				у = j1(х)
			Х

 

 

Рис. 1

		Х

 

 

Рис. 2

Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию

.

Интеграл называется внутренним. В нем х считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.

Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.

2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми

у = с, у = d (с < d), а слева и справа - непрерывными кривыми х = Y₁(у), х = Y₂(у) (Y₁ (у) £ Y₁ (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в котором у считается постоянной.

ЗАДАЧА № 22

Вычислить повторные интегралы

1. .

1.

.

ЗАДАЧА № 23

Вычислить следующие двойные интегралы по области Д, ограниченные линиями

1. ; 2. .

1. ; .

 

 

.

2. ; ;

		X

 

 

 

=

=

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью Д, определяется по формуле .

Если область Д определена неравенствами а £ х £ в, j₁(х) £ у £ j₂(х), то двойной интеграл вычисляется по формуле .

Если область Д в полярных координатах определена неравенствами

a £ j £ b, p₁(j) £ r £ p₂(j), то площадь .

ЗАДАЧА № 24

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигур

1. .

1. ;

 

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0, сбоку - цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область Д, вычисляется по формуле:

.

ЗАДАЧА № 25

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями

1. ;

Проекция тела на плоскость ХОУ:

 

 

 

 

Перейдем к полярным координатам:

.

ПОЯСНЕНИЕ

Номер варианта в задачах 9 - 25 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

№ варианта	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	в1	в2	в3
		-2		-4		-6		-8			-6
			-9		-7			-12
				-6		-8		-10			-3
					-6	-3			-7
					-2			-7
				-7			-2
			-4			-9						-8
		-6					-4		-5	-6		-1
					-1			-4		-2
						-5			-1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА

«ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1

Студента(ки) группы _________________________________________________

 

 

 

(Фамилия, имя, отчество)

 

«______» ___________ 200___ г.

(дата сдачи)

 

№ ____________

 

«______» ___________ 200__ г.

 

Шифр № _________________