Метод вращения вокруг линии уровня

 

Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь плоскости или плоской фигуры. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, при которой эта плоскость становится параллельной одной из плоскостей проекций.

Например, повернем плоский угол, образованный пересекающимися прямыми а и b (рис. 9.6).

 

Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла горизонталь h и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и bи вершина К. Все точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом точки 1 и 2 остаются неподвижными, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизонтальной проекции К₁ точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения h₁. Отрезок K₁O₁- горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Натуральную величину этого радиуса находят методом построения прямоугольного треугольника.

На продолжении прямой O₁K₁ откладывают гипотенузу O₁K₀ и получают совмещенное положение К₀ Соединив точки 1₁ и 2₁с точкой К₀, получают натуральную величину угла при вершине К.

Этим способом находится натуральная величина любой плоской фигуры, плоского угла.

Метод совмещения плоскостей

 

Этот метод является частным случаем метода вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается линия пересечения плоскости, в которой лежит та или иная фигура, с одной из плоскостей проекций. Иначе говоря, осью вращения служит горизонтальный или фронтальный след плоскости. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость , заданную своими следами и , необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе плоскости произвольную точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁, которая лежит на оси х. Далее из точки 1₁проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки 1 — точку 1₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом . Точка 1₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости . Через точку 1₀ проводят новый фронтальный след ₀ плоскости . Следы ₁ и ₀ характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости .

 

Примеры решения задач

 

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

 

9.6.1 Задание: определить натуральную величину треугольника общего положения ABC,заданного проекциями вершин A₁ B₁ C₁и А₂ В₂ С₂ (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к П_1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет в пространстве параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A₁B₁C₁ проводят ось x₁новой системы плоскостей проекций П₁ / П₄перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.При соединении новых проекций А₄, B ₄, С₄ получают прямую линию, в которую спроецировалась плоскость треугольника ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ - угол . На чертеже это угол между осью x₁ и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅,параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x₂ проводят параллельно С₄А₄В₄на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П₄/П₅.Полученный треугольник А₅В₅С₅и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого на фронтальной проекции чертежа проводят горизонталь h₂ через точку А₂. Затем строят горизонтальную проекцию h₁ горизонтали h через точки A₁ и 1₁ Через точку 1 проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ проводят горизонтальные плоскости уровня ₂ и ₂. Вершина С принадле­жит плоскости П₁поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁.На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'₁ займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции точка А₂ перемещается по следу плоскости ₂ до пересечения с линией связи, проведенной через точку a'₁. На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости ₂, а вершина С - по оси х. Соединив новое положение всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'₂В'₂С'₂,сливающуюся в линию. Этим достига­ют проецирующего положения треугольника ABC. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П₁ - .

На втором этапе проводят ось i`через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'<sub>2</sub> = i'<sub>2</sub>, а горизонтальная проекция i'<sub>1</sub> пройдет через проекцию С'<sub>1</sub>. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'<sub>2</sub> и В'<sub>1</sub>, вокруг i`₂ = С'₂ до совмещения с осью х, при этом горизонтальные проекции B'₁ и A'₁ будут перемещаться в горизонтально проецирующихся плоскостях уровня и P₁ и займут новое положение В"₁, и А"₁ вершина С оста­нется на месте. Соединив новые точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А₂1₂ // х, а горизонтальная — A₁1₁). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П₁. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П₁, А принадлежит плоскости , а В — плоскости Δ.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h₁ треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П₂. Для этого на произвольном расстоянии от оси х вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A₁B₁C₁с условием, что П₂, а значит х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение - А'₂В'₂С'₂.Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П₂.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А'₂В'₂С'₂ располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П₁. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости , Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин

А'₁ В'₁ С'₁. От нового положения фронтальной проекции А"₂В"₂С₂" проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (,T₁,P₁), и получают точки А"₁ В"₁ C"₁. Соединив эти точки между собой, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис. 9.12).

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁. Прямая A₁1₁ является горизонтальной проекцией h₁ горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Для определения радиуса вращения точки С на горизонтальной проекции проводят перпендикуляр C₁O₁ A₁1₁ точка О₁, является центром вращения точки С.

Для определения натуральной величины радиуса вращения строят прямоугольный треугольник, в котором O₁C₁ - один из катетов. Вто­рой катет - разность координат отрезка О₂С₂, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O₁C₀ - нату­ральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O₁C₁ откладывают |R_Bp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С₀. Вторая вер­шина В₀ получается пересечением луча C₀1₁ и перпендикуляра к горизонтальной проекции h₁ проведенного через точку b₁.

Треугольник A₁B₀C₀ есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC.

5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

 

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости , которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь и находят горизонтальный след этой фронтали – N₁. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П₁. Тогда горизонтальный след плоскости проводят через точки n₁ и C₁. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов . Учитывая свойство, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след ₂ плоскости проводят через точку параллельно фронтали .

Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо построить совмещенное положение плоскости с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Для этого через вершину А проводят горизонталь h₁. На фронтальном следе ₂ фиксируют точку 2₂. Ее горизонтальная проекция - точка 2₁. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости . Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 2₀, проводят из 2₁ перпендикуляр к горизонтальному следу , а из центра дугу окружности радиусом до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив с 2₀, получают совмещенное положение фронтального следа - Далее через точку 2_о проводят горизонталь h₀ в совмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А₀, проведя перпендикуляр из точки А₁ к горизонтальному следу .

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В₀. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С₁ т.е. . Соединив построенные точки, получают треугольник А₀В₀С₀ - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

 

МНОГОГРАННИКИ.