Пересечение поверхностей вращения плоскостью. Развертки поверхностей вращения

 

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.

Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.

 

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

 

При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.

 

Развертки поверхностей вращения

 

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала мо­делей различных сооружений, форм для металлических отливок, со­судов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

 

Приближенные развертки

 

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.

При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

 

Условные развертки

 

Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей.

На практике для получения развертки неразвертываемой поверхности, выполненной из листового материала, приходится кроме изгибания производить растяжение и сжатие определенных участков листа.

Построение условной развертки неразвертывающейся поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими.

11.2.3 Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.3). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

Решение: на рисунке 11.3 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций П₁ и секущая плоскость Р общего положения.

Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боковая поверхность цилиндра пересекается по эллипсу. Фигура сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания цилиндра.

В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает оснований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоскости Р, а горизонтальная проекция горизонтали h₁, по которой плоскость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию.

Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверхностью цилиндра находят сначала его низшую А (А₁ А₂) и высшую В (В₁ В₂) точки. Эти точки являются концами большой оси эллипса сечения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилиндра.

Для нахождения точек А и В проводят плоскость , перпендикулярную к горизонтальному следу Р₁ и проходящую через ось цилиндра.

Для нахождения точек А и В проводят плоскость , перпендикулярную к горизонтальному следу Р₁ и проходящую через ось цилиндра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости П₁. Затем находят прямую пересечения плоскостей Р и .

Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость про­екций в окружность.

 

Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоскостей Р и , а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной окружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоскостей Р и . По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и .

Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндрической поверхности выбирают ряд образующих. За первую образующую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилиндрической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей).

Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих. Далее наносят горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости.

Кривая линия, ограничивающая фронтальную проекцию фигуры сечения, включает видимые и невидимые участки. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечают горизонтальные проекции этих точек (11₁ и 12₁ ) и находят фронтальные проекции (11₂ и 12₂), проводя через эти точки в плоскости Р горизонтали.

Полученные точки соединяют плавной кривой линией. Кривая от точки 12 через точки 10, А, 1, 2, 3, 4 до точки 11 на фронтальной плоскости проекций является видимой, а остальная часть - невидимой.

Видимую часть кривой обводят сплошной линией, а невидимую - штриховой. Малой осью эллипса сечения является отрезок [38], проецирующийся в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Натуральная величина малой оси эллипса в рассматриваемом примере равна диаметру цилиндра.

Натуральную величину эллипса сечения строят путём совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основанием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.

При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пересечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять плавной кривой линией (рис. 11.3).

Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра проводят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой лежит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точки А, 1, 2, 3, 4, 11, 5, В, 6, 7, 8, 9, 12, 10. Расстояние от этих точек до нижнего (или верхнего) основания проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

11.2.4 Задание: построить проекции и натуральную величину фигуры сечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.4).

Решение: поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения и является носителем кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и, следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.

На рис. 11.4 приведены фронтальные проекции поверхности прямого кругового конуса, следы фронтально проецирующих секущих плоскостей и указан вид получаемой в сечении кривой. Можно установить признаки, обеспечивающие получение в сечении той или иной кривой второго порядка. Так, если обозначить угол наклона образующей конической поверхности к его оси через ° а угол между секущей плоскостью и той же осью через °, то можно утверждать, что
при ° > ° (рис. 11.4, а) в сечении получается эллипс (в частном случае, если ° =90° - окружность), при ° = ° (рис. 11.4,6)- парабола, и при ° < ° (рис. 11.4, в) - гипербола.

На рис. 11.5 изображен прямой круговой конус и фронтально проецирующая секущая плоскость Р. Угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси, поэтому в сечении получается эллипс, большая ось которого АВ будет проецироваться на плоскость-П₂ без искажения в А₂В₂, а малая ось эллипса 12 спроецируется на плоскость П₂ в точку , расположенную в середине отрезка [А₂В₂]. Величина малой оси 12 определяется из условия принадлежности ее плоскости Р. Для построения горизонтальной проекции малой оси 1₁2₁ применяют способ секущих плоскостей. Поверхность конуса рассекают горизонтальной вспомогательной секущей плоскостью и строят на горизонтальной проекции конуса проекцию фигуры сечения — круг. Определяют горизонтальные проекции малой оси эллипса 1₁2₁, которые лежат на линии пересечения (окружности) плоскости А и поверхности конуса, и проводят ряд вспомогательных секущих плоскостей для нахождения промежуточных точек 3, 4, 5, 6, принадлежащих фигуре сечения (эллипсу).

Натуральную величину эллипса находят совмещением плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекции. Эллипс а₀ 5₀ 1₀ 3₀ В₀ 4₀ 2₀ 6₀ есть натуральная величина эллипса.

 

 

11.2.5 Задание: построить проекции и натуральную величину фигуры сечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.6). Построить развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

Решение: на рис. 11.6 изображены прямой круговой конус и секущая плоскость Р общего положения. Ось конуса расположена перпендикулярно к плоскости П₁ основание конуса лежит на плоскости П₁.

Решение задачи значительно упростится, если секущая плоскость Р будет проецирующего положения. Для этого преобразуют эпюр способом перемены плоскостей проекций так, чтобы секущая плоскость Р стала фронтально проецирующей. Замену фронтальной плоскости проекций производят для того, чтобы ось конуса осталась перпендикулярной к плоскости П₁.

Преобразованный эпюр показывает, что секущая плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, а основание не пересекает.

Для нахождения проекций сечения необходимо найти проекции эллипса, получаемого от сечения конической поверхности плоскостью.

На фронтальную плоскость проекции П₄ эллипс проецируется в отрезок [А₄В₄]. Точки А и В являются низшей и высшей точками эл­липса сечения плоскости с конической поверхностью, т. е. концами большой оси эллипса. А₄В₄ — натуральная величина большой оси эл­липса. Малая ось эллипса перпендикулярна к большой оси и делит её пополам. Большая ось эллипса А₁B₁ параллельна плоскости проекций П₄, а малая ось перпендикулярна П₄ и проецируется на неё в точку (1₄ 2₄).

 

 

Затем задают на эллипсе сечения ещё ряд точек (3, 4, 5, 6, 7, 8). По их фронтальным проекциям на плоскость П₄ находят горизон­тальные проекции (проводя через точки на конической поверхности образующие). По горизонтальным проекциям находят фронтальные проекции на плоскость проекций П₂ (проводя фронтали через проек­ции точек 1₁ З₁ 5₁ 7₁).

Для нахождения границы видимости кривой на фронтальной проекции находят проекции очерковых образующих, на которых лежат искомые точки, на фронтальную плоскость проекций П₄. На пересе­чении этих образующих с плоскостью Р и будут искомые точки (проекции 9₄ и 10₄). По проекциям 9₄ и 10₄ находят горизонтальные проекции 9₁ и 10₁ а затем фронтальные проекции 9₂ и 10₂. Видимая часть кривой на фронтальной проекции - от точки 10 через точки А, 5, 1, 3, 7 до точки 9. Остальная часть невидимая.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса (рис. 11.7). Центральный угол сектора подсчитывается по формуле

где - радиус окружности основания конуса;

L - длина образующей конуса.

Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины дуги сектора или угла , обычно вписывают в основание конуса пра­вильный многоугольник (в данном случае 12-угольник) и затем, описывают из произвольной точки S дугу радиусом L, откладывают последо­вательно из любой её точки количество дуг, равное сторонам много­ угольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности прямого кругового конуса заменяют, с достаточной для практики точностью развёрткой правильной пирамиды, вписанной в данный конус.

Для нанесения на развёртку боковой поверхности конуса линии сечения (рис. 11.7) переносят на развёртку точки пересечения с секущей плоскостью 12 образующих конуса, которые заменены рёбрами 12-угольной правильной пирамиды. Соединив полученные точки плавной кривой, получают развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

11.2.6 Задание: построить проекции фигуры сечения сферы плоскостью Р (рис. 11.8).

Решение: плоскость Р является фронтально проецирующей. На фронтальную плоскость проекций окружность (фигура сечения) про­ецируется в виде отрезка прямой, на горизонтальную - в виде эллипса. Эллипс строят с помощью точек. Точки 1 и 2 расположены на главном меридиане сферы, а точки 3 и 4 - на экваторе сферы. Для нахождения верхней и нижней (экстремальных) точек 5 и 6 определяют их фронтальные проекции 5₂ и 6₂, которые находятся в середине фронтальной проекции отрезка [1₂2₂]. Через фронтальные проекции точек проводят фронтальную проекцию окружности n₂ (на плоскость П₂ она проецируется в прямую линию). Рассечение от оси сферы до очерко­вой образующей определяет радиус окружности R'. Этим радиусом строят горизонтальную проекцию окружности п₁ и на ней находят проекции точек 5 и 6 - 5₁ и 6₁. Промежуточные точки 7 и 8 определя­ют аналогичным способом.

Рис.11.8

11.2.7 Задание: построить проекции и истинную величину фигуры сечения сферы плоскостью общего положения Р (P₁ и Р₂). Построить развёртку поверхности сферы (рис. 11.9).

Решение: для решения задачи плоскость общего положения Р(Р₁Р₂) преобразуют способом замены плоскостей проекций в проецирующую. Заменяют фронтальную плоскость проекции П₂на П₄- Проводят ось х₁ перпендикулярно к горизонтальному следу Р₁ плоскости Р. Строят плоскость Р в новой системе плоскостей П₁/П₄.Для этого берут на фронтальном следе Р₂ плоскости Р произвольную точку Е (Е₂). Находят горизонтальную проекцию Е₁ точки Е, затем строят проекцию точки Е₄ в системе П₁/ П₄.Через проекцию Е₄ и точку схода следов на оси x проводят фронтальный след Р₄ плоскости. Проекцию сферы переносят в систему П₁/II₄.

Для этого проводят через горизонтальную проекцию 0₁, центра 0 сферы линию проекционных связей перпендикулярно к оси x₁ и отмечают на ней (на линии проекционных связей) координату z точки 0. Полученную проекцию обозначают 0₄. Затем строят проекцию сферы заданного радиуса в системе П₁П₄. После преобразования плоскости Р в проецирующее положение задача сводится к решению предыдущей задачи (см. п. 11.2.6), т. е. сначала строят горизонтальную проекцию фигуры сечения, а затем, используя признак принадлежности точки плоскости, строят фронтальную проекцию фигуры сечения сферы плоскостью общего положения.

Для определения натуральной величины фигуры сечения сферы необходимо выполнить вторую замену плоскостей проекций (рис. 11.9). С этой целью преобразовывают плоскость сечения Р в плоскость уровня. Для этого проводят ось x₂ параллельно фронтальному следу Р₄.

Рис 11.9

 

Проецируют центр окружности 0 в систему П₄ /П₅,отложив координату у' от оси х₂ в направлении проецирования, и отмечают проекцию 0₅. Натуральная величина окружности строится радиусом R, равным половине отрезка [1₄2₄].

Поверхность сферы не может быть развёрнута точно. Для неё строят приближённую развёртку (рис. 11.10).

Поверхность сферы разбивается на равное число частей (рис. 11.10, а), например, на 16. Разбивку производят плоскостями, проходящими через один из диаметров шара MN.

Каждую часть поверхности сферы, находящуюся между двумя смежными плоскостями, заменяют частью цилиндрической поверхно­сти с осью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к диаметру MN. Диаметр цилиндрической поверхности принимают равным диаметру сферы.

Рис.11.10

 

Для наглядности ниже рассмотрено построение только одной из частей поверхности сферы, расположенной между плоскостями Р и .

Выделенную часть поверхности сферы заменяют цилиндрической с осью , которая перпендикулярна к диаметру MN и плоскости дуги 15.Дугу 15делят на равные части (в каждом случае - на четыре). Для построения развёртки откладывают на вертикальной прямой отрезки, равные хордам данных дуг. Величины этих хорд с достаточной степенью точности можно считать равными величинам дуг. По горизонтальной прямой откладывают величины соответствующих образую­щих цилиндрической поверхности. Полученные точки соединяют кривой линией (рис. 11.10,б).