Взаимное положение прямых в пространстве

 

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны (рис. 4.8). Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проекций принадлежат одной линии связи (рис. 4.9). В частном случае пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными.

Дано:

a b; плоскость П`, b||П`(рис.4.10).

Доказать, что a' b'.

Для доказательства через прямые а' и а вводится дополнительная плоскость . Прямая b перпендикулярна к плоскости и параллельна проекции прямой b'. Отсюда прямая b' тоже перпендикулярна к плоскости .

 

 

Прямая а' принадлежит плоскости , следовательно, а' перпендикулярна к b', т.е. прямой угол проецируется без искажения.

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, т.е. не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рис. 4.11).

Взаимное положение двух прямых при наличии профильной прямой устанавливается по третьей проекции или каким-либо иным способом. На рис. 4.12 изображены две скрещивающиеся прямые, хотя их горизонтальные и фронтальные проекции пересекаются, а профильные — параллельны между собой.

 

 

 

ПЛОСКОСТЬ

 

Задание плоскости

 

Плоскость в пространстве можно задать:

·тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);

·прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);

·двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);

·двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);

·любой плоской фигурой (рис. 5.1, (3).

 

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости определяется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П₁,П₂, П₃.Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

 

 

Следы плоскости

 

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П₁, П₂, П₃)называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости — прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П₁ и обозначается , фронтальный — с плоскостью П₂ ( ), профильный — с плоскостью П₃(). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П₁, П₂,П₃.