Взаимное положение двух плоскостей

 

Две произвольные плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:

·плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда
прямая;

·плоскости параллельны друг другу.

 

Условия пересечения плоскостей

 

Две произвольные плоскости в пространстве пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют единственную прямую в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих им обеим точек. Прямая пересечения плоскостей может быть построена и при условии, если определена одна общая для плоскостей точка и известно направление этой линии.

 

Условия параллельности плоскостей

 

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:

·если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;

·если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;

·если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;

·если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны.

 

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

 

 

Определение взаимного положения

Прямой линии и плоскости

 

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

·прямая линия параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);

·прямая линия пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить положение прямой линии т и плоскости (рис. 7.1).

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям. В результате данных построений от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых линий. В задачах этого типа используют метод вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:

- через данную прямую т проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится таким образом, чтобы решение задачи было наиболее простым;

· строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной .;

· устанавливают взаимное положение прямой т и линии пересечения плоскостей п.

При этом возможны следующие случаи:

· прямая т параллельна прямой п, следовательно, прямая т параллельна плоскости ;

· прямая т пересекает прямую п, следовательно, прямая т пересекает плоскость .