Методом трифилярного подвеса

Цель работы: определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, иссле­дование влияния на момент инерции переноса осей вращения (про­верка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штан­ген­циркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется плечом силы?

4. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы из­мерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

9. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

10. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает кру­тильные колебания?

11. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n эле­ментарных масс Dm_i, находящихся на расстоянии r_i от оси вра­щения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угло­вые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной точки численно равен произведению массы точки Dm_i на квадрат расстояния r_i от оси вращения: Dm_i×r_i². Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

M = F×h. (2)

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью w и угловым ускорением b:

w = ; b = , (3)

где j - угловое перемещение тела.

Основной закон динамики вращательного движения, выражающий зависимость углового ускорения от момента силы, записывается в виде:

. (4)

Так как момент инерции зависит от расстояния массы относитель­но оси вращения, то при смеще­нии оси момент инерции изменяется. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (J₀), в большинстве случаев определить нетруд­но. В этом случае, зная момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, можно найти момент относительно любой оси, параллельной первой.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d):

J = J₀ + md². (5)

 

Например. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О'О’₁, проходящей через конец стерж­ня (рис.1). По теореме Штейнера J = J₀ + md². Момент инерции относительно оси oo₁, прохо­дящей через центр масс, J₀ равен: .

Следовательно,

.

 

На практике момент инерции тела мож­но определить методом трифилярного подвеса.

Трифилярный под­вес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укреплен­ных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2).

Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вер­тикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной мо­мента инерции платформы, он будет другим, если платформу на­грузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей работе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направле­нии, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно E₁ = mgh. Вращаясь в другом направле­нии, платформа пройдет через положение равновесия с кинетичес­кой энергией, равной , где J - момент инерции платформы; w₀ - угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

. (6)

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения j платформы от времени в виде:

, (7)

где a₀ - амплитуда колебаний, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной j по времени, выражается как:

. (8)

В момент прохождения через положение равновесия (t = 0; (1/2)T; (3/2)Т и т.д.) абсолютное значение этой величины будет

. (9)

Из (6) и (9) имеем:

. (10)

Поворот платформы на угол a₀ около оси ОО' соответствует ее поднятию на высоту h. Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхне­го диска, то легко видеть (рис. 3), что

.

Так как (ВС)² = (АВ)² - (AC)² = l ² - (R - r)²,

(ВС₁)² = (ВА₁)² - (А₁С₁)² = l ² - (R² + r² - 2R×r×cosa₀),

то .

При малых углах отклонения a₀ значение синуса этого угла можно заменить просто значением a₀ (a® sina» a), а величину знаменателя при выполнении условия (R - r)<<BC положить равной (ВС + ВС₁)» 2 l. Тогда

h = и mg = × ,

откуда

J = . (11)

По формуле (11) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно из­мерены.

Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движе­ние рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых за­трудняет измерения.

Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - стержень на подставке.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Сообщают пустой платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 20 полных колебаний (t₀), что да­ет возможность достаточно точно определять величину периода Т₀.

2. По формуле (11) определяют момент инерции пустой плат­формы J₀.

3. Путем взвешивания определяют массу исследуемого тела (m), а затем нагружают им платформу и вновь измеряют время t 20 колебаний, а затем и период колебания Т всей системы.

4. По формуле (11) вычисляют момент инерции всей сис­темы J₁, принимая ее массу равной сумме масс тела (m) и платформы (m₀). Величина момента инерции тела J определяется как разность J = J₁ - J₀.

5. Данные заносятся в таблицу 1 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности.

6. При помощи трифилярного подвеса проверяется теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инерции этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. Затем оба тела располага­ют симметрично на платформе и определяют их момент инерции. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси враще­ния. Зная это расстояние, массу тела, момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера.

Таблица 1

№ п/п

r, м

Dr, м

R, м

DR, м

l, м

m0, кг

t0, c

T0 c

DT0, c

m, кг

t, с

Т, с

DТ, с

Среднее значение

Тела на платформе следует располагать строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. При измерениях необходимо использовать амплитуды колебаний, большие чем 5-6°.

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989.

2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. С. I69-I93.

3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. § 11-13.

4. Грабовский В.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1970. §21-23.

5. Эткинс П. Физическая химия. - М.: Мир. 1980.

6. Кац Ц.Б. Биофизика на уроках физики. - М.: Просвещение, 1988.