Из правил округления имеется существенное исключение: при округлении погрешностей последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если старшая отбрасываемая цифра 3 или больше 3.

Имея результаты измерений, можно определить верные, сомнительные и неверные цифры. Разряд сомнительной цифры совпадает с разрядом первой значащей цифры погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной, называют верными, а стоящие справа от сомнительной - неверными. Неверные цифры должны быть отброшены как в исходных данных, так и в окончательном результате расчета.

При округлении пользуются понятием о значащих цифрах. Все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до пос­ледней (может быть и нуль), называются значащими цифрами. К значащим цифрам относятся все верные и сомнительные цифры. К незначащим цифрам относятся: 1) ну­ли в начале числа, определяющие разряды десятичных дробей в числах, меньших единицы; 2) нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления; 3) неверные цифры, если они по каким-либо причинам не отброшены.

На­пример, числа 0.002583 0.00003, 0.0258 0.0002, 258 2 содержат по 3 значащие цифры. В числе 2547 все числа значащие, так как ошибка не указана.

При сложении и вычитании округление всех чисел производит­ся по правилам 1-3 до разряда на единицу меньшего, чем разряд наименее точного числа. В результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков:

23.2 + 0.442 + 7.247»23.2 + 0.44 + 7.25 = 30.89» 30.9.

При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр:

30.9 1.8394» 30.9 1.84 = 56.856» 56.9,

56.9: 2.412» 56.9: 2.41 = 23.609» 23.6.

При возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколькоих имеет возводимое в степень приближенное число:

(11.38)² = 129.5044» 129.5.

При извлечении корня в результате следует сохранять столь­ко значащих цифр, сколько их имеет подкоренное (приближенное) число:

=1.724» 1.72.

При нахождении логарифма приближенного числа нужно брать из таблиц столько знаков, сколько верных знаков содержит дан­ное число:

l g77.23» 2.8878» 2.888.

Примечание. При вычислении промежуточных результатов сле­дует брать на одну цифру больше, чем указано в округлении при выполнении математических действий над числами. В окончательном результате эта "запасная" цифра отбрасывается. Приведенный ни­же пример поясняет сказанное:

Значение физической величины округляется до первой сомни­тельной цифры. Все цифры, стоящие после сомнительной, отбрасы­ваются. Абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры, относительная ошибка - до двух значащих цифр.

Пример. Путем измерений и математических расчетов было по­лучено, что для объема некоторого тела имеют место следующие числа (см. с. 13: Вычисление абсолютной и относительной ошибок измерений):

V = 43.235 м³; DV = ± 0.423 м³.

Оказалось, что сомнительной цифрой при вычислении объема является 2. Тогда результат можно записать в следующем виде:

V= (43.2 ± 0.4) м³; E_V = 100% = 0.92%.

Промахи, систематические и случайные погрешности измерений

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Измерение тел, предметов или любой физической величины всегда производится с той или иной степенью точности[1], т.е. с той или иной степенью приближения к истинному значению иско­мой величины. Если указываем, что высота дерева 2 м 56 см, а измерена она с точностью до 1 см, то это будет означать, что отклонение найденной высоты от истинной не превышает 1 см.

При измерении физических величин под действием самых разнообразных причин возникают погрешности измерения. Все погрешности принято подразделять на систематические, случайные и промахи (ошибки).

Промахи

Это наиболее распространенная причина ошибок. Она возникает по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении. К промахам, например, относятся неточно установленный нуль секундомера или нониуса микрометра, неправильная установка самого прибора (вер­тикальная вместо горизонтальной или наоборот), неразборчивая или небрежная запись в черновиках, а следовательно, и непра­вильное переписывание данных при составлении отчета дома и т.п.

Эта ошибка бывает значительно больше погрешностей других измерений. Если ошибка допущена в одном измерении из нескольких, сделанных верно, то, сравнивая числовые значения полученных результатов или их абсолютных погрешностей, ее легко обнаружить. Результат, полученный ошибочно, резко отличается от результатов других измерений, а абсолютная погрешность имеет значение, значительно превышающее абсолютные погрешности других измерений. Эта ошибка должна быть исключена из результатов измерений.

Систематические погрешности

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при использовании для вычислений неточных зависимостей (формул), констант и т.д.

Эти ошибки очень трудно контролировать, поскольку они связаны с конструкцией либо состоянием самого измерительного прибора или инструмен­та (например: неправильно отградуирован­ный штангенциркуль, не установленная на нуль стрелка прибора), а также с влиянием на них незаметных, на первый взгляд, факторов (температуры, влажности, электрических и магнитных по­лей, вибрации, освещенности и т.п.). В этом случае всегда измеряемая ве­личина (линейные размеры, ток, напряжение, сопротивление и т.п.) будет заниженной или завышенной по сравнению с истинной. Таким образом, из сказанного выше ясно, что для избежания таких оши­бок необходимо тщательно готовить измерительные приборы, обо­рудование, установки, обеспечивать правильное хране­ние, а также исключить внешние факторы, влияющие на результат измерения.

Случайные погрешности

Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов, изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.

Случайные ошибки присутствуют при любых измерениях и свя­заны с неточностью отсчета. Например, различное зажатие дета­лей микрометрическим винтом микрометра или ножками штангенцир­куля, различное положение глаза при отсчете по шкале и т.п. Однако в этом случае отличия носят случайный характер и откло­нения от истинного значения могут происходить как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения его. Эта ошибка может быть уменьшена увеличением числа повторных измерений и нахожде­нием среднего арифметического из полученного количества резуль­татов. Например, если А₁, А₂, А₃,... A_n - результаты, полу­ченные в процессе отдельных измерений, то величина

будет средним арифметическим из n указанных результатов. Эта величина будет наиболее близкой к истинному значению искомой величины.

В общем случае при измерении любой величины могут присутствовать все три вида ошибок, но последний будет присутство­вать всегда.