Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.

Рассмотрим это более подробно. До­пустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:

A = f (x, y, z...).

Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:

1) Найти полный дифференциал функции

.

2) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz,... соот­ветствующими абсолютными ошибками аргументов Dx, Dy, Dz, … (при этом знаки "минус" в абсо­лютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс", так чтобы величина ошибки была максимальной):

.

Применяя это правило к частным случаям, получим:

- абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если X = a - b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность произведения двух сомно­жителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (a_CP) на абсолютную погрешность второго и сред­него значения второго множителя (b_CP) на абсолютную погреш­ность первого. Если X = а × b, то DX = a_CP × Db + b_CP × Dа. Если X = a ⁿ , то DX = n × а_CP^n-1 × Dа;

- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, делен­ной на квадрат знаме­нателя. Если X = , то DX= .

3) По определению найдем относительную погрешность

.

Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относи­тельную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относи­тельная погрешность величины А есть Е_А = DA/А_ср, но d(lnA) = DA/А и, следовательно, D(lnA) = DA/А.

Правило II.

1) Логарифмируют функцию A = f (x, y, z,...).

2) Дифференцируют полученный логарифм по всем аргументам.

3) Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz,... абсолют­ными ошибками соответствующих аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки "минус" в абсо­лютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс").

После вычислений получают относительную погрешность Е_А.

4) Абсо­лютную погрешность находят из формулы

DA = A_CP × E_A..

Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z,...) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.

2. Если функция A = f (x, y, z,...) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.

Рассмотрим следующие примеры:

1. В результате изучения равноускоренного движения некото­рого тела получено выражение S = v₀Чt + a Чt²/2, в котором

v₀ = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с²; t = (30 ± 2) с;

S = 12 × 30 + = 1485 м.

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при оп­ределении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция не­удобна для логарифмирования. Тогда

.

Так как

DV₀ = 1 м/с; Dt = 2 с; D a = 0.4 м/с²; V₀ = I2 м/с; t_СР = 30 с; a _СР = 2,5 м/с², то, подставив эти величины в формулу для DS, получим

DS = 1 м/с × 30 с + 2 с × 12 м/с + 1/2 × 0.4 м/с² × 900 с² + 2.5 м/с² × 30 c × 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м» 400 м.

Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда

E_S = ×100% = 0.266 ×100% = 27%.

Окончательный результат будет иметь вид:

S = (1500 400) м; Е_S = 27%.

2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращаю­щееся по окружности, пользуются формулой

F = .

В результате измерений получено: m = (15.5 ± 0.2) кг;

v = (3.45 ± 0.01) м/с; R= (150 ± 5) м;

F = = 1.2299 H.

Для определения абсолютной и относительной ошибок при оценке центростремительной силы в данном случае удобно пользо­ваться правилом II, т.к. функция F = f (m,v,R) удобна для логарифмирования. Тогда

ln F = ln m + 2 ln v - ln R.

Продифференцировав это равенство, получим

;

Так как

Dm = 0.2 кг; Dv = 0.01 м/с; DR = 5 м; m_СР = 15.5 кг; v_СР = 3.45 м/с; R_СР = 150 м, то

; E_F = 5.2%;

DF = F × E_F = 1.2299 Н ×0.052 = 0.06396 Н = 0.06 Н.

При определении центростремительной силы третья цифра слева является сомнительной и F =1.23 Н. Окончательный результат запишется в виде

F = (1.23 ± 0.06) Н; E_F = 5.2%.

Используя первый или второй способы в расчете абсолютной и относительной ошибок измерений для часто встречающихся за­висимостей, можно воспользоваться соответствующими формулами, которые сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Вид функции	Абсолютная пог­реш­ность	Относительная пог­реш­ность
А = a + b	± (Da + Db)
A = a+ b + c	± (Da + Db + Dc)
A = a - b	± (Da + Db)
A = aЧb	± (aЧDb + bЧDa)
A = aЧbЧс	± (bЧcЧDa + aЧcЧDb + aЧbЧDc)
A = a^n	± nЧa^n-1ЧDa
A =e^n	±Dn×e^n	±Dn
A = ln a	±
	A = sin j	± cos j ЧD j	± ctg j Ч D j
	A = cos j	± sin j Ч D j	± tg j Ч D j
	A = tg j
	A = ctg j