Графическая обработка результатов измерений

Очень часто при выполнении лабораторной работы требуется проследить зависимость какой-либо физической величины от дру­гой. В этом случае применяется графический метод. Все графики должны выполняться на миллиметровой бумаге.

Условно можно выделить три вида графического изображения:

а) графики, имеющие в основном иллюстративное назначение, ко­торые только поясняют характер взаимосвязи между величинами;

б) графики, дающие количественную характеристику зависимости, но не предназначенные для дальнейшей обработки;

в) "рабочие" графики, которыми в дальнейшем предполагается пользоваться при измерениях для нахождения по ним тех или иных констант, нахождения связи между производными функциями (например, путем дифференцирования кривых); сюда относятся также градуировочные графики.

Соответственно разному назначению различны и требования к графическому представлению данных, однако можно кратко сфор­мулировать некоторые общие требования:

1. Рисунок с графическими зависимостями должен иметь но­мер и название, на него должна быть дана ссылка в тексте отче­та.

2. Величины, откладываемые по осям координат, должны иметь наименования или условные обозначения и единицы измерения (например, скорость: v, м/с).

3. Шкалы по осям координат должны отвечать определенным простым зависимостям - линейной, логарифмической, квадратичной и т.д. При установлении масштаба (число мм, соответствующее единице измерения данной величины) допускаются соотношения только 2.5 и 10. Например, нельзя выбрать масштаб 1 мм = 0.7 г, а нужно 1 мм = 5Ч10^-1 г. На осях откладываются равные интерва­лы, но не конкретные значения величин, полученных на опыте (рис. 1 а, б).

 

а) правильно

б) неправильно

Рис. 1

4. Соотношение масштабов выбирается таким образом, чтобы точность отсчетов по обеим осям была примерно одинаковой (это­му соответствует "средний наклон" графика к осям порядка 45°).

5. Экспериментальные "точки" должны быть отчетливо указаны - это должны быть не "точки" в прямом смысле этого слова, а кружки, квадратики, крестики и т.д., для которых в подписи к рисунку-графику должно быть дано разъяснение в том случае, если разные значения получены при отличных условиях.

6. График должен быть достаточно точным: наименьшее рас­стояние, которое можно отсчитывать на графике, должно быть не меньше абсолютной ошибки измерении.

7. Полученные на плоскости точки соединяют между собой кривой. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним, так, чтобы эти точки находи­лись по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии.

8. Часто встречаются случаи, когда необходимо в большем масштабе построить какой-либо участок кривой. Такое построение можно выполнить на том же рисунке, используя не занятую часть графика.

Составление отчета

Лабораторная работа представляет собой самостоя­тель­ное, законченное исследование, пусть даже самое простое. Составление отчета является важным этапом выполнения работы. Оно преследует две основные цели: представление резуль­татов и обучение студента кратко и ясно излагать результаты выполненной работы, что является важным в учебной, производ­ственной и научной работе.

Научиться писать отчет о лабораторной работе - значит научиться писать научный отчет, научную статью.

Что должен включатьотчет о работе?

1. Название работы и ее номер.

2. Цель работы.

3. Приборы и материалы, используемые в работе.

4. Краткие данные об исследуемом явлении. Не нужно зани­маться переписыванием многих страниц учебника и про­чих пособий. Следует лишь кратко изложить суть дела.

5. Формулировку задачи, поставленной в данной лаборатор­ной работе; конкретное (более узкое) задание, полученное от преподавателя.

6. Метод измерения (принципиальную схему).

7. Краткое описание экспериментальной установки, рабо­чую схему, ее обоснование, последовательность измерений на установ­ке.

8. Рабочую формулу.

9. Результаты измерений в большинстве случаев сводятся в таблицы.

Например. Требуется вычислить объем цилиндра. В вашем распоряжении имеются результаты измерений, произведенных микрометром и штангенциркулем. Объем цилиндра можно вычислить по формуле

Диаметр цилиндра D измерен микрометром (точность барабана 0.01 мм), высота H - штангенциркулем (точность нониуса 0.05 мм). Результа­ты измерений занесены в таблицу 2.

 

Таблица 2

№	Измеряемая величина	Примечания
опыта	D, мм	DD, мм	Н, мм	DH, мм
	7.86	-0.01	160.00	+0,04
	7.89	-0.04	160.15	-0.11
	7.83	+0.02	159.95	+0.09
	7.85	0.0	160.05	-0.01
	7.82	+0.03	160.10	-0.06
Среднее значение	7.85	±0.02	160.04	±0.06

 

D = (7.85 ± 0.02) мм, Н= (160.04 ± 0.06) мм.

Вычисляем среднее значение результата

мм³

и определяем по правилу II относительную погрешность:

lnV = ln p - ln 4 + 2ЧlnD+ lnH,

Вычисляем абсолютную погрешность результата:

DV= E_V ×V_CP = 0.0055 × 7741.72 = 42.58 мм³.

Записываем окончательный результат:

V = (774 ± 4) ×10 мм³; Е_V = 0.55 %.

10. Обсуждение результатов измерений. Этот раздел отчета является обязательным. Необходимо пояснить физичес­кий смысл полученных зависимостей, проанализировать результаты. Должна быть оценена погреш­ность окончательного результата, указаны основные источники погрешностей, возможные пути их уменьшения. Полученный резуль­тат следует сопоставить с результатами более точных изме­рений ("табличными" значениями). Если в результате измерений получена определенная зависимость между некоторыми физичес­кими величинами, то ее следует проанализировать, т.е. найти соответствие (расхождение) с известными теоретическими или эмпирическими закономерностями. Необходимо указать условия, интервал значений аргумента, в котором найденная зависимость справедлива, обсудить причины, вызывающие отклонения величин от ожидаемого соотношения, обратить внимание на отличие условий измерений от модели, применяемой при теоретическом рассмотрении во­проса. Если при сопоставлении с "табличными" значениями и вообще более точными результатами, полученными при научных исследова­ниях, обнаруживается систематическая погрешность, то причины этой погрешности должны быть, по возможности, выявлены и обсуждены.

В процессе выполнения лабораторных работ не только по фи­зике, но и по другим естественнонаучным или техническим дисциплинам, а также при вы­полнении курсовых, дипломных и научных работ в СНО при кафед­рах необходимо применять все рекомендации, приведенные выше, по разумной обработке результатов и составлению отчетов.

Работа № 1. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ, ОБЪЕМОВ

И ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Цель работы: ознакомиться с работой нониуса, научиться проводить измерения линейных размеров тел c помощью штан­ген­­циркуля и микрометра и определять погрешности при измерениях и расчетах.

Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, набор измеряе­мых тел.

Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выпол­нению работы

1. Что называется нониусом?

2. Что такое цена деления? Как определить цену деления нониуса?

3. Что называется погрешностью измерения? Чему равна погреш­ность нониуса?

4. Что называется приборной погрешностью?

5. Как рассчитать погрешность прямых измерений?

6. Как рассчитывается погрешность косвенных измерений в вашей работе?

7. В каких случаях следует пользоваться штангенциркулем, в ка­ких – микрометром?

8. Как определяется среднее арифметическое значение измерений?

9. Что называется абсолютной погрешностью (средней абсо­лют­ной погрешностью) измерений?

10. Что называется относительной погрешностью измерений?

11. Какие цифры называются значащими?

12. Как записывают окончательный результат физических измере­ний?

13. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

В науке, технике, повседневной жизни для измерения линейных величин пользуются различными приборами и инструментами.

Измерения длины производят масштабными линейками. Величи­на наименьшего деления такой линейки называется ценой одного деления. Обычно цена одного деления линейки равна 1 мм. Если измерения производят с точностью до долей миллиметра, то поль­зуются вспомогательной шкалой измерительного инструмента – но­ниусом. Для измерения линейных величин применяют линейный нониус.

Линейным нониусом назы­вается специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позво­ляющая повысить точность измерений в 10…20 раз. Нониус служит для отсчета десятых долей меньшего деления масштабной линейки. Величина деления нониуса обычно меньше наименьшего деления масштабной линейки, она рассчитывается по формуле (k - 1)/k, где k – не­ко­торое число делений масштабной линейки. Чаще всего для определения цены деления нониуса берут k= 10, тогда деление нониуса составляет (k - 1)/ k = 0.9 деления масштаба.

Другими словами, для получения такого нониуса нужно взять 9 делений масштабной линейки и разделить на 10 равных частей. Если наименьшее деление масштаба 1 мм, то одно деление нониуса будет равно 0.9 мм, т.е. на 0.1 мм меньше деления масштаба, два деления нониуса будут меньше двух делений масштаба на 0.2 мм и т.д.

Представим себе две линейки, сложенные вместе, как указа­но на рис. 1. Пусть цена деления верхней линейки (нониуса) равна l ₁, a цена деления нижней масштабной линейки – l ₂. Линейки образуют нониус, если существует целое число k, при котором

k Ч l ₁ = (k -1) Ч l ₂. (1)

Величина

d = l ₂ - l ₁ = (2)

называется точностью нониуса. Точность нониуса равна отношению цены наименьшего деления масштабной линейки к числу делений на нониусе. В частности, если l ₁ = 1 мм, k =10, то точность нониуса d = 0,1 мм. Как видно из рис. 1, при совпадении нулевых делений нижней и верхней шкал совпадают, кроме того, (k-1)-е деле­ние нижней и k-е деление верхней шкалы.

Измерение с помощью нониуса производится следующим образом: измеряемый объект устанавливается так, чтобы один конец его совпадал с нулем масштаба, а сам объект располагался вдоль масштаба; нуль нониуса совмещается с другим концом измеряемого объекта. Для измерения длины нужно измерить расстояние между нулем масштабной линейки и нулем нониуса. Таким образом, число целых делений отсчитывается по масштабной линейке между нулем масштаба и нулем нониуса, число десятых делений – по значению деления нониуса, совпадающего с делением масштабной линейки.

В технических нониусах нижнюю линейку делают обычно ко­роткой, так что совпадать с верхней может лишь одно из деле­ний этой линейки. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что нониусная линейка является в этом смысле короткой.

Нониусами снабжают штангенциркули (рис. 2) и микрометры (рис. 3).

 

Рис. 2 Рис. 3

В микрометре используются микрометрические винты – винты с малым и очень точно выдержанным шагом. Один поворот винта мик­рометра передвигает его стержень на 0,5 мм. Барабан, связан­ный со стержнем, разбит на 50 делений. Поворот на одно деление соответствует смещению стержня на 0,01 мм. С этой точностью обычно и производятся измерения с помощью микрометра.

I. Штангенциркуль

Штангенциркуль (рис. 2) представляет собой масштабную линейку, с одной стороны которой имеется неподвижная ножка. Вторая ножка имеет нониус и может перемещаться вдоль мас­­штабной линейки. Если ножки штангенциркуля сведены вместе, то нули масштаба и нониуса совпадают.

Измеряемое тело помещают между ножками штангенциркуля, а затем по масштабу между нулем масштаба и нулем нониуса отсчитывают количество целых миллиметров. Десятые доли миллиметра определяют по делению нониуса, совпавшему с делением масштабной линейки.

С помощью штангенциркуля можно измерять не только внешние, но и внутренние размеры, например внутренний диаметр трубки. Для этого пользуются острыми верхними выступами ножек штангенциркуля, которые опускают в измеряемую трубку и раздвигают до соприкосновения их со стенками трубки, а затем производят отсчет точно так же, как и при измерении внешних размеров тел.

 

порядок выполнения работы

Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо ознакомиться с устройством штангенциркуля, определить точность нониуса. Проделав несколько предварительных измерений линейных размеров какого-либо тела, научиться работать с этим прибором. После этого:

1. Измерить в разных местах высоту Н, длину l и толщину d данной фигуры. Каждое измерение провести не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№	Измеряемая величина
п/п	Н, мм	DН, мм	l, мм	D l, мм	d, мм	Dd, мм
среднее значение

2. Вычислить объем данного тела.

3. Вычислить относительную и абсолютную погрешности из­мерений в определении объема с использованием соответст­вующих аналитических зависимостей.

 

II. Микрометр

Микрометр позволяет измерять внешние размеры предметов, если они не превышают 100 мм, например: диаметр проволоки, тонкие пластинки не­большой площади и т.п. Типичный микрометр изображен на рис. 3. Он имеет вид тисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. На стержне винта A укреплен барабан С с нанесенной на нем шка­лой, имеющей 50 делений (иногда 25 делений). При вращении микрометрического винта барабан скользит по линейной шкале Д. Точность измерения микрометром повышается (в сравнении со штангенциркулем) благодаря применению винтового механизма – весьма эффективного способа осуществлять тонкое поступательное движение. Измеряемый предмет помещают между винтом и противоположным ему упором, затем, вращая винт за головку В, доводят его до соприкосновения с измеряемым телом. По линейной шкале отсчитывают миллиметры, а по шкале барабана – сотые доли миллиметра.

Главным источником ошибок является неравномерность нажима винта на измеряемый предмет. Для равномерности нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой В (трещоткой). Действие по­добных приспособлений основано на трении между стержнем винта А и головкой В, поворачивающей винт.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Прежде, чем пользоваться микрометром, необходимо убедить­ся, что нули его шкал совпадают: нуль барабана должен находиться против нуля линейной шкалы. Измеряемое тело помещают между винтом и противоположным упором и вращением барабана подводят торец винта к плоскости тела. Барабан следует вращать, прикладывая усилие не к нему самому, а к выступающей сзади головке В. Вращение головки вызывает перемещение винта только до его упора в поверхность измеряемого тела с определенным фиксированным нажимом, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая характерный треск. После срабатывания трещотки дальнейшее вращение головки Вбесполезно, а ба­рабана - недопустимо. Таким образом, окончательный результат измерения всегда соответствует постоянному давлению винта А на предмет.

Отсчет производят по шкалам: целые миллиметры и половины миллиметра – по линейной шкале Д, десятые и сотые доли миллиметра – по шкале барабана С.

1. Измерить диаметр цилиндрического тела D и его высоту h. Измерения произвести не менее 5 раз. Результаты измерений за­нести в таблицу 2.

2. Вычислить объем данного цилиндрического тела.

3. Вычислить относительную и абсолютную погрешности в определении объема с использованием соответствующих аналитичес­ких зависимостей.

Таблица 2

№	Измеряемая величина
п/п	D, мм	DD, мм	h, мм	Dh, мм
Среднее значение

Определение плотности вещества

Взвешиванием на технических весах находят массу данного тела (пластинки или цилиндра) m. Плотность вещества рассчитывают по формуле r = m/V, где V – объем тела. Вычисляют абсолютную и относительную погрешности и записывают окончательный результат с учетом погрешности.

Например, плотность полого цилиндра рассчитывается по формуле:

Здесь D₁ и D₂ - внешний и внутренний диаметры цилиндра, H – высота цилиндра.

Рекомендуемая литература

1. Физический практикум (механика и молекулярная физика)/ Под ред. В.И. Ивероновой.– Киев: Наука, 1967. Задача 1.

2. Сквайрс Дж. Практическая физика. – М.: Мир, 1971.