Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит ровно r раз (безразлично, в какой последовательности), равна

где q=1-p.

Вероятность того, что событие наступит: а) менее r раз; б) более r раз; в) не менее r раз; г) не более r раз – находят соответственно по формулам:

а) P_n( 0 )+P_n( 1 )+…+P_n(r- 1 );

б) P_n(r+ 1 )+P_n(r+ 2 )+…+P_n(n);

в) P_n(r)+P_n(r+ 1 )+…+P_n(n);

г) P_n( 0 )+P_n( 1 )+…+P_n(r).

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой

,

где k – число появления события в n независимых испытаниях, l=np (среднее число появления события в n испытаниях) и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример 29. Вероятность рождения мальчика 0.515. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что из них:

а) ровно три девочки,

б) не более трех девочек,

в) не менее двух, но не более четырех девочек.

Решение:

а)

б)

Пример 30. «Средний» человек с вероятностью 3/5 выполняет определенное задание за 1 мин. Предположим, что задание выполнялось 10 людьми. Какова вероятность ровно семи успешных выполнений задания за 1 мин?

Решение. Здесь n = 10, k = 7, р = 3/5. Значит,

Пример 31. Предположим, что скрещиваются мышь-альбинос и мышь гомозиготного нормального типа (цветная). Какова вероятность двух альбиносов из шести мышей во втором поколении?

Решение. В первом поколении все мыши будут цветными, так как ген альбинизма рецессивен. Легко видеть, что во втором поколении цветными окажутся 3/4 всех мышей. Поскольку все первое поколение имеет тип Сс, скрещивание Сс и Сс с равными вероятностями дает СС, Сс, сС и сс, причем лишь потомство сс является альбиносами. Таким образом, Р (альбинос) = 1/4 и задача сводится к распределению Бернулли при n = 6, k = 2 и р = 1/4. Искомая вероятность есть

 

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями, поэтому при больших n используют приближённую формулу Пуассона

Р_n (m)= , где

Эту формулу применяют в случае, когда n несколько десятков и более, а произведение np <10 в случае, когда n велико, а np 10, то формула Пуассона даёт очень грубое приближение, и для расчётов вероятности используют формулу Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико (n 100),произведение npq 20, то вероятность Р_n (m) можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

Р_n (m)= х), где х = , (х)= – функция Гаусса

(х) – чётная.

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов лежит между m ₁ и m ₂ можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа

Р_n (m ₁ m m ₂)= Ф ₀(х ₂)– Ф ₀(х ₁), где х ₁= , х ₂= , Ф ₀(х)= – функция Лапласа, Ф ₀(х) – нечетная.

Функцию Ф(x) называют функцией Лапласа или интегралом вероятности. Значение интеграла для различных вычислены и приведены в таблицах, причем только для . Для нахождения Ф(x) функции для отрицательных значений пользуются той же таблицей, учитывая, что Ф(x) - нечетная функция, т.е. Кроме того, в таблице приведены значения лишь до =4, так как для можно принять

Поэтому вычисление вероятности сводится к расчету и дальнейшему определению по таблице

Завод отправил в магазин 5000 ампул с лекарством. Вероятность того, что в пути ампула разобьется, равно 0,0004. Найти вероятность того, что в пути повредится: а) равно 3 ампулы; б) не более 2 ампул.

Решение:

а) Рассматривая транспортировка каждой ампулы как отдельное испытание, можем утверждать, что производится n=5000 повторных испытаний. Пусть событие А – повреждение ампулы в пути. Так как вероятности наступления события А в каждом испытании одинаковы(p=0,0004),то эти испытания независимы. А значит, для вычисления вероятности повреждения в пути равно 3 ампул можно использовать формулу Бернулли:

Расчет вероятности по этой формуле достаточно сложен, поэтому воспользуемся приближенной формулой Пуассона. Так как p =0,0004< 0,1 и npq =5000 ·0,0004·0,9994≈2<10, поэтому:

где λ=n·p=5000·0,0004=2 – среднее число появления события А в 5000 испытаний.

б) Событие (m 2) является суммой трех несовместимых событий (m =0), (m =1) и (m =2).

Следовательно, P(m 2)=P(m =0)+ P(m =1)+ P(m =2)= P₅₀₀₀(0)+P₅₀₀₀(1)+P₅₀₀₀(2)≈ (1+2+2) 0,135·5≈0,677

Пример 33. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном м³ воздуха равна 10. Берем на пробу 2 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в них будет обнаружен хотя бы один болезнетворный микроб.

Решение:

1 дм³ = 0,001 м³. 2 дм³ = 0,002 м³.

Вероятность присутствия 1 микроба в 2 дм³:

Количество испытаний: 10

Среднее число появлений событий А (1 микроба) в 10 испытаниях:

Используем формулу Пуассона

Некоторое редкое заболевание встречается у 0.1% населения. Какова вероятность того, что это заболевание окажется у 4 человек из случайно отобранных 5000 человек?

Решение:

Вероятность заболевания р=0.001. n=5000.

По формуле Пуассона

 

По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более,чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Решение:

а) вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n = 1000 велико (условие npq =1000*0,87*0,13=113,1≥20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Лапласа. Вначале определим по

Теперь по формуле

б) По формуле

Т. к. неравенство равносильно неравенству , что от 0,83 до 0,91 новорожденных из 1000 доживут до 50 лет.

 

Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 100 высеянных семян взойдет: а) равно 90; б) от76 до 90 семян.

Решение:

а) Пусть событие А – семя взошло. Рассматривая посев каждого семени как отдельное испытание, можно сказать, что проводится 100 независимых испытаний (в каждом из них событие А наступает с постоянной вероятностью p = p(A) = 0,8). По формуле Бернулли имеем:

Понятно, что непосредственный расчет по этой формуле окажется трудным. В данной задаче произведение npq равно:

поэтому можно воспользоваться приближенной локальной формулой Лапласа:

По таблице значений функции найдем: .

Тогда

б) Обозначим как (76 90) событие, заключающееся в том, что число m взошедших семян заключено между 76 и 90. Если для вычисления вероятности этого события использовать формулу Бернулли, то придется считать следующую сумму вероятностей:

Однако, т.к. np =16>10, то хорошую точность расчета искомой вероятности можно получить при использовании приближенной интегральной формулы Лапласа:

т.к. функция Лапласа нечетная и Ф (–1)= –Ф (1).

По таблице значений Ф( ) найдем: Ф (2,5)=0,49379; Ф (1)=0,34134.

Тогда

Найдите наиболее вероятное число выигрышей в шахматы в 15 партиях у равносильного противника.

Замечание. Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k₀ по заданным n и p можно воспользоваться неравенствами np-q<=k₀<=np+p или правилом: если число np+p не целое, то k₀ равно целой части этого числа; если же np+p целое, то k₀ имеет 2 значения k₀^'=np-q и k₀^''=np+p.

Решение. В этом примере n= 15, p= 0,5. Число np+p =15*0,5+0,5=7,5+0,5=8.

Ответ: 8 раз.

 

Варианты заданий

 

№12.1. Вероятность успеха в эксперименте составляет 95%, а неудачи—-5%. Эксперимент повторяют пять раз. Определите вероятности следующих событий а) ни одного успеха: б) ни одной неудачи; в) четыре успеха и одна неудача.

№12.2. В любой данный день в июне погода может быть хорошей (с вероятностью 50%), посредственной (с вероятностью 25%) или плохой (с вероятностью 25%). Предположим, что погода в данный день никак не влияет на погоду в любой другой день. Какова вероятность того, что в течение одной недели в июне будет семь хороших дней? четыре хороших дня, два посредственных и один плохой день?

№12.3. В некоторой большой популяций у 40% людей волосы черные, у 40% рыжие и у 20% светлые. Если из популяции случайно выбирают 10 человек, то каковы вероятности следующих событий:

а) 5 черноволосых, 5 рыжих;

б) 4 черноволосых, 4 рыжих, 2 светловолосых;

в) 3 черноволосых, 3 рыжих, 4 светловолосых?

№12.4. Дальтонизмом страдает 1% большой популяции. Допустим, что из нее наугад выбирают n человек. Какова вероятность того, что ни один из n человек не окажется дальтоником? Сколь велико должно быть n, чтобы эта вероятность была меньше 10%?

№12.5. Машина дает продукцию, которая должна удовлетворять определенным требованиям. Вероятность того, что данная единица продукции приемлема, составляет 95%. Из продукции машины делают выборку в количестве 10 ед. Какова вероятность того, что все 10 ед. продукции окажутся приемлемыми?

№12.6. По оценкам, волк, в одиночку нападающий на лося, добивается успеха в 8% столкновений. Какова вероятность того, что в пяти столкновениях ни один лось не станет добычей волка?

№12.7. В каждом полушарии человеческого мозга имеется четко определяемая слуховая область. В анатомических исследованиях было установлено, что слуховая область левого полушария более развита в 65% рассмотренных случаев, менее развита в 10% и развита в одинаковой с правым полушарием степени в 25% случаев. Какова вероятность того, что из группы в пять случайно выбранных человек в три эти категории соответственно попадут три, ни одного и два человека?

№12.8. Замечено, что слушатели вводного курса по количественному химическому анализу достигают приемлемых результатов в 80% титрований. Один студент добился приемлемого результата лишь однажды в шести титрованиях. Какова вероятность случайного наступления этого события? Как вы думаете, станет ли этот студент химиком-экспериментатором?

№12.9. При заболеваниях щитовидной железы применяется йодная терапия. Было замечено, что у 50% больных наступает быстрое улучшение, на 40% больных терапия не оказывает заметного эффекта, а у 10% она вызывала ухудшение состояния. Эту терапию применяют девять больных. Каковы вероятности того, что: а) все девять почувствуют улучшение; б) у пятерых будет улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и одному станет хуже; в) у троих будет, улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и троим станет хуже?

№12.10. Лечение одного заболевания приводит к выздоровлению в 75% случаев. Лечилось шесть больных. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) не выздоровит ни один; в) выздоровят по крайней мере четверо?

№12.11. Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98%. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) ни один не выздоровит; б) выздоровят только пятеро?

№12.12. Шансы волка добыть пищу за каждый период охоты составляют 60%. Какова вероятность того, что успешными оказалось больше половины всех периодов охоты, если всего был 31 период? если всего было 14 периодов?

№12.13. а) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения нечетного числа хотя бы на одной из них была больше 90%? б) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной пятерки была больше 50%?

№12.14. В одном городе 50% населения предпочли бы более строгий контроль за огнестрельным оружием, 30% — более слабый контроль и 20% хотели бы сохранить существующее положение вещей. Для опроса выбрано случайным образом 12 человек. Каковы вероятности того, что: а) все хотят усилить контроль; б) половина опрошенных хотят усилить, а половина — ослабить контроль; в) равные количества опрошенных предпочитают три альтернативы?

№12.15. Метеоролог обращается за субсидией для поездки в Испанию с целью проверки теории о том, что «дождь в Испании идет в основном на равнине». Он планирует провести наблюдения в такое время года, когда вероятность дождя на равнине в любой данный день составляет 20%. (Предполагается, что эта, вероятность не зависит от предшествующей погоды.)

а) Сколько дней должен запланировать метеоролог провести в Испании, чтобы на 99% быть уверенным в том, что он застанет дождь?

б) Допустим, что метеорологу были выделены денежные средства на 15 дней в Испании и что за первые 10 дней не было ни одного дождя. Какова вероятность того, что его поездка окажется неудачной, т. е. что он не увидит ни одного дождя?

№12.16. В популяции дрозофилы у 20% особей имеется мутация крыльев. Если из популяции выбирают наугад шесть мух, то какова вероятность мутации у двух из них? по крайней мере у одной? меньше чем у пяти?

№12.17. Кофеин и бензедрин считаются стимуляторами, имеющими некоторую способность противодействовать угнетающему влиянию алкоголя. В эксперименте по проверке их относительной эффективности 40 добровольцев приняли по 6 унций алкоголя каждый. Добровольцы были разбиты затем на 20 пар, и один член каждой пары получал бензедрин, а другой — кофеин. Согласно некоторому тесту, бензедрин приводил к более быстрому восстановлению во всех 20 парах. Какова вероятность такого результата, если считать, что в воздействии кофеина и бензедрина нет никакой разницы?

№12.18. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?

№12.19. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдёт не менее 6.

№12.20. Найти наивероятнейшее число появлений некоторого события при 16 испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна 0,7.

№12.21. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,6 общего количества волокон. При каком общем количестве волокон хлопка наивероятнейшее число длинных окажется равным 20?

№12.22. На каждые 20 приборов приходится в среднем 6 неточных. Определить наивероятнейшее число точных приборов из наудачу взятых 8 приборов.

№12.23. Если в среднем левши составляют 1 %, то какова вероятность того, что среди 200 человек: 1) 4 левши; 2) по крайней мере 4 левши.

№12.24. В аптеку поступило 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Определить вероятность того, что аптека получит разбитых бутылок:

1) ровно одну; 2) хотя бы одну.

№12.25. Дежурная аптека обслуживает 20000 населения. Вероятность того, что в ночное время один посетитель придет в аптеку, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в ночное время в аптеку:

а) никто не придет;

б) придут 3 посетителя;

в) придет хотя бы один посетитель.

Случайные величины

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).

Дискретная случайная величина - это случайная величина, когда принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала. Понятие непрерывной случайной величины возникает при измерениях.

Случайные величины обозначаются конечными заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения - соответствующими строчными буквами х, у, z.