Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f (x) имеет производную на отрезке [ a, b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ^/ (x) ³ 0.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ^/ (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f (x) убывает на отрезке [ a, b ], то f ^/ (x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f (x) убывает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.2).

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b).

 

 

Экстремумы функции

 

Функция f (x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f (x) имеет в точке х₂ минимум, если f (x₂ + D x) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 

(необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Но обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

 

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

 

 

В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной

В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной

 

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

 

(Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале ( a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “ + ” на “–“, то в точке х = х₁ функция f( x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “ – “ на “ + ”, то функция имеет минимум.

 

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба

Опр. Кривая называется выпуклой на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой на интервале (а, b), если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале (рис. 3.5).

 

Если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f(x) отрицательна (положительна), то кривая y = f ( x ) обращена выпукла (вогнута).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Пусть кривая определяется уравнением y = f ( x ). Если вторая производная f¢¢ ( a ) = 0 или f¢¢ ( a ) не существует и при переходе через точку

х = а меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

Асимптоты

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и частный случай наклонных – горизонтальные.

 

Вертикальные асимптоты

 

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – вертикальная асимптота кривой y = f (x).

 

 

Наклонные и горизонтальные асимптоты

 

Наклонная асимптота задается уравнением прямой y = kx + b, где коэффициенты k и b вычисляются по следующим формулам:

,

 

 

Если k = 0, то получаем горизонтальную асимптоту.